【北师大版】2016秋九上期末训练(2)特殊平行四边形的性质与判定附答案)

专题训练(二) 特殊平行四边形的性质与判定

1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连接BE.求四边形AEBD的面积．

2．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF.

(1)求证：四边形BEDF是菱形；

 (2)若∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．

3．(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O.

(1)连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形；

(2)求菱形AFCE的边长．

5．E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：

(1)四边形CFEG是矩形；

(2)AE＝FG.

6．(牡丹江中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.

(1)求证：CE＝AD；

(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．

参考答案

1.∵AE∥BC，DE∥AC，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE＝CD.在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，BD＝CD.
∴BD＝AE.
∴四边形AEBD是矩形．

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AC＝5，CD＝2(1)BC＝3，
∴AD＝＝4.
∴四边形AEBD的面积为BD·AD＝CD·AD＝3×4＝12.

2.(1)证明：连接BD，交AC于O.

∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.

∵AE＝CF，
∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形．

∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．

（2）∵∠DAB＝60°，四边形ABCD是菱形，
∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°.

∵AD＝6，
∴OD＝2(1)AD＝3.

∵AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE，∠ADE＝∠EDO＝30°.

在Rt△DEO中，由勾股定理可得DE＝2，
∴菱形BEDF的周长为4DE＝8. 

3.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.

由翻折得BM＝AB，DN＝DC，∠A＝∠EMB，∠C＝∠DNF，
∴BM＝DN，∠EMB＝∠DNF＝90°.
∴BN＝DM，∠EMD＝∠FNB＝90°.

∵AD∥BC，
∴∠EDM＝∠FBN.
∴△EDM≌△FBN(ASA)．
∴ED＝BF.

又∵DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．

（2）∵四边形BFDE是菱形，
∴∠EBD＝∠FBD.

∵∠ABE＝∠EBD，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝3(1)×90°＝30°.
∴AE＝2(1)BE.

由勾股定理得AB＝AE.

在Rt△ABE中，AB＝2，
∴AE＝3(2)，BE＝3(4).
∴ED＝3(4).
∴AD＝2.
∴S_△ABE＝2(1)AB·AE＝3(2)，S_矩形ABCD＝AB·AD＝4.
∴S_菱形BFDE＝4－2×3(2)＝3(8). 

4.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.

∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC.

在△AOE和△COF中，∠AOE＝∠COF，(OA＝OC，)
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF.

∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形．

∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．

（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC.设AF＝x cm，则CF＝x cm，BF＝(8－x)cm，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°.
∴在Rt△ABF中，

由勾股定理得4²＋(8－x)²＝x²，解得x＝5，
∴AF＝5 cm，即菱形AFCE的边长为5 cm. 

5.证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠GCF＝∠CFE＝∠CGE＝90°.
∴四边形EFCG为矩形．

(2)连接EC.

∵四边形EFCG为矩形，
∴FG＝CE.

又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE＝∠CBE.

在△ABE和△CBE中，AB＝BC，(∠ABE＝∠CBE，)
∴△ABE≌△CBE(SAS)．
∴AE＝CE.
∴AE＝FG. 

6.(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°.

∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB.
∴AC∥DE.

∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD.

（2）四边形BECD是菱形，

理由：∵D为AB中点，
∴AD＝BD.

∵CE＝AD，
∴BD＝CE.

∵BD∥CE，
∴四边形CDBE是平行四边形．

∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD.
∴四边形CDBE是菱形．

（3）当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形，

理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝∠A＝45°.
∴AC＝BC.

∵D为AB中点，
∴CD⊥AB.
∴∠CDB＝90°.

∵四边形CDBE是菱形，
∴四边形CDBE是正方形，

即当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．