2017届高考理科数学二轮复习训练：1-1-5 导数的简单应用（解析参考）

一、选择题

1．[2015·洛阳统考]曲线f(x)＝x＋1(x2＋a)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为4(3π)，则实数a＝(  )

A．1    B．－1

C．7    D．－7

答案 C

解析 f′(x)＝(x＋1)2(2x(x＋1)－(x2＋a))＝(x＋1)2(x2＋2x－a)，

又∵f′(1)＝tan4(3π)＝－1，∴a＝7.

2．[2015·郑州质量预测(二)]如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(  )

A．－1    B．0

C．2    D．4

答案 B

解析 由图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－3(1)，即f′(3)＝－3(1).又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×3(1)＝0.

3．[2015·南宁适应性测试(二)]设抛物线C：y＝x²与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于(  )

A．1    B.3(1)

C.3(2)    D.3(4)

答案 D

解析 由y＝1(y＝x2)得x＝±1.由对称性与图形可知，S＝2(1×1－x²dx)＝20(1)＝3(4)，选D.

4．[2015·陕西高考]设f(x)＝x－sinx，则f(x)(  )

A．既是奇函数又是减函数

B．既是奇函数又是增函数

C．是有零点的减函数

D．是没有零点的奇函数

答案 B

解析 ∵f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又f′(x)＝1－cosx≥0，∴f(x)单调递增，选B.

5．已知函数f(x)＝ax³＋bx＋c(ac<0)，则函数y＝f(x)的图象可能是(  )

答案 B

解析 设g(x)＝ax³＋bx，因为g(－x)＝－ax³－bx＝－g(x)，所以g(x)是奇函数，其图象关于原点对称，因为f(x)＝g(x)＋c，所以f(x)的图象是g(x)的图象向上或向下平移得到的，所以排除A项；由f′(x)＝3ax²＋b，知当a>0，x→＋∞时，f′(x)>0，函数单调递增，又ac<0，所以c<0，即f(0)＝c<0，所以排除D项；当a<0，x→＋∞时，f′(x)<0，函数单调递减，又ac<0，所以c>0，即f(0)＝c>0，所以排除C项．故选B.

6．[2015·河北名校联盟质监(二)]若曲线C₁：y＝ax²(a>0)与曲线C₂：y＝e^x存在公共切线，则a的取值范围为(  )

A.，＋∞(e2)    B.8(e2)

C.，＋∞(e2)    D.4(e2)

答案 C

解析 根据题意，函数y＝ax²与函数y＝e^x的图象在(0，＋∞)上有公共点，令ax²＝e^x得：a＝x2(ex).设f(x)＝x2(ex)，则f′(x)＝x4(x2ex－2xex)＝x3(ex(x－2))，

由f′(x)＝0得：x＝2，

当0<x<2时，f′(x)<0，函数f(x)＝x2(ex)在区间(0,2)上是减函数，

当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)＝x2(ex)在区间(2，＋∞)上是增函数，

所以当x＝2时，函数f(x)＝x2(ex)在(0，＋∞)上有最小值f(2)＝4(e2)，所以a≥4(e2)，故选C.

7．[2015·江西八校联考]已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(  )

A．(－∞，0)    B.2(1)

C．(0,1)    D．(0，＋∞)

答案 B

解析 ∵f(x)＝x(ln x－ax)，∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，故f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f′(x)＝0，则2a＝x(ln x＋1)，设g(x)＝x(ln x＋1)，

则g′(x)＝x2(－ln x)，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x→0^＋时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)_max＝g(1)＝1，

∴只需0<2a<1⇒0<a<2(1).

8．[2015·兰州诊断考试]已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式f(x)<e^x的解集为(  )

A．(－2，＋∞)    B．(0，＋∞)

C．(1，＋∞)    D．(4，＋∞)

答案 B

解析 ∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x＋2)的图象关于x＝0对称，∴f(x)的图象关于x＝2对称，∴f(4)＝f(0)＝1.设g(x)＝ex(f(x))(x∈R)，则g′(x)＝(ex)2(f′(x)ex－f(x)ex)＝ex(f′(x)－f(x))，又∵f′(x)<f(x)，∴g′(x)<0(x∈R)，

∴函数g(x)在定义域上单调递减，∵f(x)<e^x⇔g(x)＝ex(f(x))<1，而g(0)＝e0(f(0))＝1，∴f(x)<e^x⇔g(x)<g(0)，∴x>0，故选B.

9．已知函数f(x)＝x³＋ax²－x＋c(x∈R)，则下列结论错误的是(  )

A．函数f(x)一定存在极大值和极小值

B．若函数f(x)在(－∞，x₁)，(x₂，＋∞)上是增函数，则x₂－x₁≥3(3)

C．函数f(x)的图象是中心对称图形

D．函数f(x)的图象在点(x₀，f(x₀))(x₀∈R)处的切线与f(x)的图象必有两个不同的公共点

答案 D

解析 对于选项A，f′(x)＝3x²＋2ax－1，方程3x²＋2ax－1＝0的根的判别式Δ＝4a²＋12>0恒成立，故f′(x)＝0必有两个不等实根，不妨设为x₁，x₂，且x₁<x₂，令f′(x)>0，得x<x₁或x>x₂，令f′(x)<0，得x₁<x<x₂，所以函数f(x)在(x₁，x₂)上单调递减，在(－∞，x₁)和(x₂，＋∞)上单调递增，所以当x＝x₁时，函数f(x)取得极大值，当x＝x₂时，函数f(x)取得极小值，故A选项的结论正确；对于选项B，令f′(x)＝3x²＋2ax－1＝0，由根与系数的关系可得x₁＋x₂＝－3(2a)，x₁x₂＝－3(1)，易知x₁<x₂，所以x₂－x₁＝＝3(4)≥3(3)，故B选项的结论正确；对于选项C，易知两极值点的中点坐标为3(a)，又f＋x(a)＝－3(a2)x＋x³＋f(－3(a))，f－x(a)＝3(a2)x－x³＋f3(a)，所以f＋x(a)＋f－x(a)＝2f3(a)，所以函数f(x)的图象关于点3(a)成中心对称，故C选项的结论正确．对于D选项，令a＝c＝0得f(x)＝x³－x，f(x)在(0,0)处切线方程为y＝－x，且y＝x3－x(y＝－x)有唯一实数解，即f(x)在(0,0)处切线与f(x)图象有唯一公共点，所以D不正确，选D.

二、填空题

10．[2015·洛阳统考]函数f(x)＝ex，0≤x≤1(x＋1，－1≤x<0)的图象与直线x＝1及x轴所围成的封闭图形的面积为________．

答案 e－2(1)

解析 由题意知所求面积为 (x＋1)dx＋e^xdx＝x2＋x(1)－1(0)＋e^x0(1)＝－－1(1)＋(e－1)＝e－2(1).

11．[2015·太原一模]函数f(x)＝xe^x的图象在点(1，f(1))处的切线方程是________．

答案 y＝2ex－e

解析 ∵f(x)＝xe^x，∴f(1)＝e，f′(x)＝e^x＋xe^x，∴f′(1)＝2e，∴f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.

12．[2015·山西四校联考(三)]函数f(x)＝ln x，x>1(1－x2，x≤1)，若方程f(x)＝mx－2(1)恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．

答案 e()

解析 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象，如图，而函数y＝mx－2(1)恒过定点2(1)，设过点2(1)与函数y＝ln x的图象相切的直线为l₁，切点坐标为(x₀，ln x₀)．因为y＝ln x的导函数y′＝x(1)，所以图中y＝ln x的切线l₁的斜率为k＝x0(1)，则x0(1)＝2()，解得x₀＝，所以k＝e(1).又图中l₂的斜率为2(1)，故当方程f(x)＝mx－2(1)恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是e().

13．[2015·石家庄一模]设过曲线f(x)＝－e^x－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l₁，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cosx上一点处的切线l₂，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围为________．

答案 －1≤a≤2

解析 函数f(x)＝－e^x－x的导数为f′(x)＝－e^x－1，设曲线f(x)＝－e^x－x上的切点为(x₁，f(x₁))，则l₁的斜率k₁＝－ex₁－1.函数g(x)＝ax＋2cosx的导数为g′(x)＝a－2sinx，设曲线g(x)＝ax＋2cosx上的切点为(x₂，g(x₂))，则l₂的斜率k₂＝a－2sinx₂.由题设可知k₁·k₂＝－1，从而有(－ex₁－1)(a－2sinx₂)＝－1，∴a－2sinx₂＝ex1＋1(1)，对∀x₁，∃x₂使得等式成立，则有y₁＝ex1＋1(1)的值域是y₂＝a－2sinx₂值域的子集，即(0,1)⊆[a－2，a＋2]，a＋2≥1(a－2≤0)，∴－1≤a≤2.

14．已知偶函数y＝f(x)对于任意的x∈2(π)满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的有________．

(1)f3(π)<f4(π)

(2)f3(π)>f4(π)

(3)f(0)<f4(π)

(4)f6(π)<f3(π)

答案 (2)(3)(4)

解析 因为偶函数y＝f(x)对于任意的x∈2(π)满足f′(x)cosx＋f(x)sinx>0，且f′(x)cosx＋f(x)sinx＝f′(x)cosx－f(x)(cosx)′，所以可构造函数g(x)＝cosx(f(x))，则g′(x)＝cos2x(f′(x)cosx－f(x)(cosx)′)>0，所以g(x)为偶函数且在2(π)上单调递增，所以有g3(π)＝g3(π)＝3(π)＝2f3(π)，g4(π)＝g4(π)＝4(π)＝f4(π)，g6(π)＝6(π)＝3(3)f6(π).由函数单调性可知g6(π)<g4(π)<g3(π)，即3(3)f6(π)<f4(π)<2f3(π)，所以(2)(4)正确，(1)错．对于(3)，g4(π)＝g4(π)＝f4(π)>g(0)＝f(0)，所以(3)正确．