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2017届高考理科数学二轮复习训练:1-7-2 坐标系与参数方程(选修4-4)(参考解析)

1[2015·郑州质量预测()]在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ2cos4(π),直线l的参数方程为t(x=t)(t为参数),直线l和圆C交于AB两点,P是圆C上不同于AB的任意一点.

(1)求圆心的极坐标;

(2)PAB面积的最大值.

解 (1)C的直角坐标方程为x2y22x2y0,即(x1)2(y1)22.

所以圆心坐标为(1,-1),圆心极坐标为4(7π).

(2)直线l的普通方程为:2xy10,圆心到直线l的距离d3(2+1-1|)3(2)

所以|AB|29(8)3(10)

P到直线AB距离的最大值为rd3(2)3(2)

故最大面积Smax2(1)×3(10)×3(2)9(5).

2.在平面直角坐标系xOy中,过点P(2,0)的直线l的参数方程为y=t(3t)(t为参数),圆C的方程为x2y29.以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

 (1)求直线l和圆C的极坐标方程;

(2)设直线l与圆C相交于AB两点,求|PA|·|PB|的值.

解 (1)直线l的普通方程为xy20

y=ρsinθ(x=ρcosθ)代入得,ρcosθρsinθ20

整理得直线l的极坐标方程为ρcos(θ3(π))1.

C的极坐标方程为ρ3.

(2)直线l的参数方程为y=t(3t),将其代入x2y294t24t50

所以|PA|·|PB||t1|·|t2||t1t2|4(5).

3[2015·福建高考]在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为y=-2+3sint(x=1+3cost,)(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin4(π)m(mR)

(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;

(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.

解 (1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.

ρsin4(π)m,得ρsinθρcosθm0.

所以直线l的直角坐标方程为xym0.

(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2

2(|1-(-2)+m|)2

解得m=-3±2.

4[2015·郑州质量预测()]在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为sinαcosα-2sin2α+2(3cosα+sinα)(α为参数),若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线N的极坐标方程为ρsin4(π)2(2)t(t为参数)

 (1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;

(2)若曲线N与曲线M有公共点,求t的取值范围.

解 (1)xcosαsinαx2(cosαsinα)22cos2α2sinαcosα1

所以曲线M可化为yx21x∈[2,2]

ρsin4(π)2(2)t2(2)ρsinθ2(2)ρcosθ2(2)t

所以ρsinθρcosθt,所以曲线N可化为xyt.

(2)若曲线MN有公共点,则当直线N过点(2,3)时满足要求,此时t5,并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点,

联立y=x2-1(x+y=t),得x2x1t0

Δ14(1t)0,解得t=-4(5).

综上可求得t的取值范围是-4(5)≤t≤5.

 

5.已知直线l5()(t为参数)上一点P,椭圆Cy=sinθ(2cosθ,)(θ为参数)上一点Q,求|PQ|的最大值以及此时点Q的坐标.

解 直线l5()(t为参数)的普通方程为2xy40,椭圆Cy=sinθ(2cosθ,)(θ为参数)上一点Q到直线的距离为d5(2cosθ-sinθ+4|)5(2cosθ-4|)5(3-4)5(|3sin(θ+φ)-4|)

其中cosφ3(1)sinφ=-3(2)

sin(θφ)=-1,即θφ2(3π)θ2(3π)φ时,dmax5(5).此时cosθcos-φ(3π)=-sinφ3(2)

sinθsin-φ(3π)=-cosφ=-3(1)

所以,(1)即椭圆上的点Q的坐标为3(1).

6[2015·陕西质检()]在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1x2y24,圆C2(x2)2y24.

(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标;

(2)求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程.

解 (1)C1的极坐标方程为ρ2,圆C2的极坐标方程为ρ4cosθ

ρ=4cosθ(ρ=2)ρ2θ2kπ±3(π),其中kZ

故圆C1与圆C2交点的极坐标为3(π)3(π),其中kZ.

(2)(1)可知圆C1与圆C2的交点在直角坐标系下的坐标为(1)(1,-)

故圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为)(x=1).

 

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