2017届高考理科数学二轮复习训练:1-7-2 坐标系与参数方程(选修4-4)(参考解析)
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2017届高考理科数学二轮复习训练:1-7-2 坐标系与参数方程(选修4-4)(参考解析)
1.[2015·郑州质量预测(一)]在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2cos4(π),直线l的参数方程为t(x=t)(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.
(1)求圆心的极坐标;
(2)求△PAB面积的最大值.
解 (1)圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.
所以圆心坐标为(1,-1),圆心极坐标为4(7π).
(2)直线l的普通方程为:2x-y-1=0,圆心到直线l的距离d=3(2+1-1|)=3(2),
所以|AB|=29(8)=3(10),
点P到直线AB距离的最大值为r+d=+3(2)=3(2),
故最大面积Smax=2(1)×3(10)×3(2)=9(5).
2.在平面直角坐标系xOy中,过点P(2,0)的直线l的参数方程为y=t(3t)(t为参数),圆C的方程为x2+y2=9.以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l和圆C的极坐标方程;
(2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.
解 (1)直线l的普通方程为x+y-2=0,
将y=ρsinθ(x=ρcosθ)代入得,ρcosθ+ρsinθ-2=0,
整理得直线l的极坐标方程为ρcos(θ-3(π))=1.
圆C的极坐标方程为ρ=3.
(2)直线l的参数方程为y=t(3t),将其代入x2+y2=9得4t2-4t-5=0,
所以|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=|t1t2|=4(5).
3.[2015·福建高考]在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为y=-2+3sint(x=1+3cost,)(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin4(π)=m(m∈R).
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;
(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.
解 (1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.
由ρsin4(π)=m,得ρsinθ-ρcosθ-m=0.
所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.
(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,
即2(|1-(-2)+m|)=2,
解得m=-3±2.
4.[2015·郑州质量预测(二)]在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为sinαcosα-2sin2α+2(3cosα+sinα)(α为参数),若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线N的极坐标方程为ρsin4(π)=2(2)t(t为参数).
(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;
(2)若曲线N与曲线M有公共点,求t的取值范围.
解 (1)由x=cosα+sinα得x2=(cosα+sinα)2=2cos2α+2sinαcosα+1,
所以曲线M可化为y=x2-1,x∈[-2,2],
由ρsin4(π)=2(2)t得2(2)ρsinθ+2(2)ρcosθ=2(2)t,
所以ρsinθ+ρcosθ=t,所以曲线N可化为x+y=t.
(2)若曲线M,N有公共点,则当直线N过点(2,3)时满足要求,此时t=5,并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点,
联立y=x2-1(x+y=t),得x2+x-1-t=0,
由Δ=1+4(1+t)=0,解得t=-4(5).
综上可求得t的取值范围是-4(5)≤t≤5.
5.已知直线l:5()(t为参数)上一点P,椭圆C:y=sinθ(2cosθ,)(θ为参数)上一点Q,求|PQ|的最大值以及此时点Q的坐标.
解 直线l:5()(t为参数)的普通方程为2x-y+4=0,椭圆C:y=sinθ(2cosθ,)(θ为参数)上一点Q到直线的距离为d=5(2cosθ-sinθ+4|)=5(2cosθ-4|)=5(3-4)=5(|3sin(θ+φ)-4|),
其中cosφ=3(1),sinφ=-3(2),
当sin(θ+φ)=-1,即θ+φ=2(3π),θ=2(3π)-φ时,dmax=5(5).此时cosθ=cos-φ(3π)=-sinφ=3(2),
sinθ=sin-φ(3π)=-cosφ=-3(1),
所以,(1)即椭圆上的点Q的坐标为3(1).
6.[2015·陕西质检(二)]在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标;
(2)求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程.
解 (1)圆C1的极坐标方程为ρ=2,圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ,
由ρ=4cosθ(ρ=2)得ρ=2,θ=2kπ±3(π),其中k∈Z,
故圆C1与圆C2交点的极坐标为3(π),3(π),其中k∈Z.
(2)由(1)可知圆C1与圆C2的交点在直角坐标系下的坐标为(1,),(1,-),
故圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为)(x=1).
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