第一讲--集合

高中数学竞赛讲义

第一讲 集合

1.集合的运算律 （1）交换律 A（2）结合律 A

B?BA，AB?BA； (BC)?(AB)，CA(BC)?(AB)C；

)?(AB)(A，C)A(BC)?(AB)(AC)；（3）分配律 A(BC

（4）0?1律 A??A，AU?A，AU?U，A???； （5）等幂律 AA?A，AA?A；

（6）吸收律 A(AB)?A，A(AB)?A；

（7）求补律 A

A?U，AA??；

（8）反演律 AB?AB，AB?AB；

例1. 设集合A,B,X满足：AX?BX?AB，AB

2.容斥原理

（1）对于有限集合A,B，有A（2）对于有限集合A,B,C，有

X?AB，求集合X．

B?A?B?AB；

ABC?A?B?C?AB?AC?BC?ABC；

（3）一般地，对于有限集Ai(i?1,2,

,n)，有

A1A2

An??Ai1?

i1?1

n

1?i1?i2?n

?

Ai1Ai2?

1?i1?i2?i3?n

?

Ai1Ai2Ai3

?

n

?(?1)n?1A1

A2Ai1

Ai2

An

Aik，

??(?1)k?1

k?1

1?i1?i2??ik?n

?

其中A表示集合A中元素的个数．

定理：设n,k都是正整数，S?{1,2,其中[]表示不大于

n

,n}，则S中能被k整除的正整数的个数为[]，

k

nkn

的最大的整数． k

例2. 由1至300的整数中，有多少个整数能被7整除且能被2或5整除？

例3. 由1至1000的整数中，有多少个整数能被2整除但不能被3也不能被5整除？ 例4. 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数． 3.集合的划分

集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近年来的数学竞赛中经常出现．

（1）覆盖：若把一个集合A分成若干个非空子集，使得A中的每个元素至少属于其中一个非空子集，则称这些非空子集为A的一个覆盖．即设A??，S?{S1,S2,,Sm}，其

m

中Si?A，诸Si??，且

i?1

Si?A，则称集合S为集合A的覆盖．

（2）划分：给定集合A的一个覆盖S，若A中的每一个元素属于且仅属于S的其中一个元素，那么S称作是A的一个划分．即若S是集合A的覆盖，且诸SiSj??，则称S是A的划分．

例5. 设Z是整数集，问：能否将Z划分为三个两两不相交的非空子集，使得对于任意两个取自不同子集的数a和b：（1）在第三个子集中有一个数c满足a?b?2c？（2）在第三个子集中有两个数c1,c2满足a?b?c1?c2？

1

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4.抽屉原理

抽屉原理又叫鸽笼原理或信箱原理．通俗地讲，就是3只苹果放入2个抽屉，则必有1个抽屉里至少有2只苹果．其常见形式如下：

n

（1）设A是有限集，Ai?A(i?1,2,

,n)，且

i?1

Ai?A，则A??Ai；

i?1

n

n

（2）设A是有限集，A?n?1，Ai?A(i?1,2,整数k（1?k?n）使得Ak?2；

,n)，且

i?1

Ai?A，则必存在正

n

（3）设A是m(m?2)元集，Ai?A(i?1,2,（1?k?n）使得Ak?[

,n)，且

i?1

Ai?A，则必存在正整数k

m?1

]?1； n

（4）设A是有限集，q1,q2,

n

,qn都是正整数，如果A??q1，i?n?

i?1

n

Ai?A(i?1,2,

1

． 2

,n)，且

i?1

Ai?A，则必存在正整数k（1?k?n）使得Ak?qk．

例6. 证明：如果在一个边长为1的等边三角形内任取5个点，则必有2个点，它们的距离不大于

例7. 证明：在1，2，…，2n中任取n?1个不同的数，则这n?1个数中必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数．

例8. 某棋手参加了一次为期11周共77天的集训，已知他每天至少下一盘棋，而每周至多下12盘棋．证明：在集训期间必有连续的若干天，在这几天里该棋手共下21盘棋．

例9. 随意地给正十边形的10个顶点编上号码1，2，…，10，求证：必有一个顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点的号码之和不小于17.

5.加法原理与乘法原理

加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第i类方式有Mi种方法，i?1,2,,N，则完成这件事共有

?M

i?1N

N

i

?M1?M2??MN种方法；

,N，

乘法原理：做一件事情，完成它需要N个步骤，第i步有Mi种方法，i?1,2,则完成这件事共有

?M

i?1

i

?M1M2MN种方法．

基础巩固训练

xyzxyxyz

1. 设x,y,z都是非零实数，则M?xzxyxyz集合为_____________．

的所有可能取值的

1

，对它的非空子集A，将A中所有元2

素相乘，再求和，则对M的所有非空子集，这些积的总和是______．

3. 设集合

M?{uu?12m?8n?4l,m,n,l?Z}，N?{vv?20p?16q?12r,p,q,r?Z}，

2.

已知集合M?{?1,?,2.71828,

则集合M与N的关系是_______．

4. 已知{x,x2,x3,x4,x5}?{y,y2,y3,y4,y5}，证明：x?y．

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5. 已知整数集合M?{mx2?mx?36?0有整数解}，非空集合A满足条件：（1） A?M；（2）若a?A，则?a?A．那么这样的集合A的个数有_______个．

6. 若规定E?{a1,a2,,a11}的某个子集{ak1,ak2,,akn}为集合E的第k个子

集，其中k?2k1?1?2k2?1??2kn?1．（1）{a2,a3,a5}是集合E的第______个子集；

（2）集合E的第2014个子集是____________．

15x?A，A?M，7. 设集合M?{1,2,3,,1995}，集合A满足：且当x?A时，

则A中元素最多有________个．

8. 已知集合A，B，C（不必相异）的并集A?B?C?{1,2,?,n}，则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是___________．

9. 将集合M?{1,2,,12}的元素分成不相交的三个子集：M?ABC，其中A?{a1,a2,a3,a4}，B?{b1,b2,b3,b4}，C?{c1,c2,c3,c4}，c1?c2?c3?c4，且ak?bk?ck，k?1,2,3,4，试求出所有的集合C．

10. 已知集合A?{a}集合B?{a12,a22,a32,a42,a52}，其中1,a2,a3,a4,a5，

2，3，4，5．如果a1?a2?a3?a4?a5，AB?{a1,a4}，a1?a4?10，ai?N*，i?1，

且AB中的所有元素之和为224，求集合A．

自主招生对接

1. 非空集合G关于运算?满足：①?a,b?G，都有a?b?G；②?e?G，使得?a?G，都有a?e?e?a?a，则称G为关于运算?的融洽集．下列集合中，为关于运算?的融洽集的是________

（1）G?{非负整数}，?为整数的加法；（2）G?{偶数}，?为整数的乘法；

（3）G?{二次三项式}，?为多项式的加法；（4）G?{函数}，?为函数的和．

2. 设集合S?{A0,A1,A2,A3,A4,A5}，在S上定义运算?为：Ai?Aj?Ak，其中k为i?j被4除的余数，i,j?0,1,2,3,4,5，则满足关系式(x?x)?A2?A0的x（x?S）的个数为________

3. 设整数n?4，集合X?{1,2,3,,n}，令集合

S?{(x,y,z)x,y,z?X,且x?y?z,y?z?x,z?x?y三者中恰有一个成立}， 若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中，则下列选项中正确的是_______

（1）(y,z,w)?S，(x,y,w)?S；（2）(y,z,w)?S，(x,y,w)?S；

（3）(y,z,w)?S，(x,y,w)?S；（4）(y,z,w)?S，(x,y,w)?S.

4.（2010复旦）设集合X是实数集R的子集，如果点x0?R满足：对任意a?0，都存在x?X，使得0?x?x0?a，那么称x0为集合X的聚点．问下列集合以0为聚点的有：①{

数集Z． n1n?Z,n?0}；②R\{0}；③{n?Z,n?0}；④整n?1n

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5. （2007清华）对于集合M?R2（表示坐标平面内的点集），称M为开集，当且仅当?P0?M，?r?0，使得{P?R2PP0?r}?M，判断集合

（“?”{(x,y)4x?2y?5?0}与{(x,y)x?0,y?0}是否为开集，并证明你的结论．

表示“任意”，“?”表示“存在”）

6. （2010浙大）设集合M?{xf(x)?x}，N?{xf[f(x)]?x}．（1）求证：M?N；（2）若f(x)是R上的单调递增函数，是否有M?N？若是，请证明．

7. （2003复旦）定义闭集合S：若a,b?S，则a?b?S，a?b?S．（1）举一真包含于R的无限闭集合；（2）求证：对任意两个闭集合S1,S2?R，存在?

S2．

8.（2009浙大）给出1，2，3，4，5五个数字，排列这五个数字，要求第一个到第i个位置（1?i?4）不能由1，2，…，i的数字组成．如21534不可，因为第一位到第二位由1，2组成，同理32145也不可．求满足要求的所有可能的组合数．

9. 由6个正数组成的集合，该集合中的任两个数a与b（a?b）的和a?b与差a?b至少有一个属于该集合．证明：若将该集合中的数按递增的顺序排列，则相邻两个数的差相同．

竞赛技能拔高 1. 设M?{aa?x2?y2,x,y?Z}，求证：（1）一切奇数都属于M；（2）偶数4k?2(k?Z)不属于M；（3）若p?M，q?M，则pq?M.（4）将M中的自然数按从小到大的顺序排列，问第2014个数是谁？

2. 以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中有正数，有负数；②P中有奇数，有偶数；③?1?P；④若x,y?P，则x?y?P．试判断实数0和2是否在P中．

3. 设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a?S，b?S，则a?b?S，ab?S；②对任一个有理数r，三个关系r?S，?r?S，r?0有且仅有一个成立．证明：S是全体正有理数的集合．

4. 求集合A和B，使得AB?{1,2,,10}，且集合A中所有元素之和等于集合B中所有元素之积．

5. 非空集合S是有理数集合Q的子集，有以下性质：（1）0?S；（2）若

s（3）存在一个非零有理数q，q?S，且对任意一个不在Ss1,s2?S，则1?S；s2

中的非零有理数都可写成qs的形式，其中s?S．证明：?x?S，都存在y,z?S，使得x?y?z．

6. 设M是含有2012个正整数的集合，如果M中没有一个元素是M中另外两个元素的和，求M中最大元素的最小值．

7. 设集合S?{1,2,,50}，求最小自然数k，使S的任意一个s元子集中都存在两个不同的数a和b，满足(a?b)ab．

8. 设集合A?{1,2,,m}，求最小的正整数m，使得对A的任意一个14?分划A1,A2,,A14，一定存在某个集合Ai(1?i?14)，在Ai中有两个元素a和b满

4足b?a?b． 3

4

t?R，但t?S1