第四讲--函数方程与不等式

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第四讲--函数方程与不等式

高中数学竞赛讲义

第四讲函数、方程与不等式

函数、方程与不等式三者紧密联系，互为一体．函数y?f(x)的研究对象是定义域内的每一个自变量（全体），对应的方程f(x)?0研究的则是那些使函数值为零的自变量（个体），而不等式f(x)?0（?0）关注的对象则是函数f(x)在

． x轴上（下）方的图象对应的自变量，这仅仅是全体的一部分（部分）

三个一次：一次函数y?kx?b(k?0)→一元一次方程kx?b?0→一元一次不等式kx?b?0等．

三个二次：二次函数y?ax2?bx?c(a?0)→一元二次方程ax2?bx?c?0→一元二次不等式ax2?bx?c?0等．

根的分布：设x1,x2为ax2?bx?c?0(a?0)的两个实根，（1）两正根；（2）两负根；（3）一正一负根；（4）x1?x2?k；（5）k?x1?x2；（6）x1?k?x2；（7）

（8）x1?k1且x2?k2（k1?k2）；（9）在区间(k1,k2)有且仅有一k1?x1?x2?k2；

根；（10）在区间(k1,k2)有根．

1.在实数范围内解下列方程（组）

x（1）2x?3x?5x，

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10?1x1?1xxx 4x?6x?9；，65

（2

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?12，

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x，

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x?3

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(3x?1)?(2x?1)?0，

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（3）?10x?1； 11114????， x2?3x?2x2?3x?2x2?xx2?x5

?x?7?x?3，

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?x，； 0010100?x2?x?1?(x2?x?1)(x2?2x?4)，

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x2?x?

（4

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1，

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?1，

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?11，

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高中数学竞赛讲义

1?32x?y?y??23?1?x?yxy?2x?y?1???1??（5）?yz?2z?3y?8， ?1?y2?z， ?y3?z2?z?． 3?zx?4z?3x?8??1?z2?x?1??32z?x?x??3?

2.在实数范围内解（证明）下列不等式

（1）8101005??x3?5x?0， (x2?1)?x3(x?1)x?120102?2x?1?，0

log2(x12?3x10?5x8?3x6?1)?1?log2(x4?1)；

（2）已知0?x,y,z?1，求证：x?1?y??y?1?z??z?1?x??1；

（3）柯西（Cauchy）不等式：若a1,a2,,an；b1,b2,,bn都是实数，则(a12?a22?

?an2)(b12?b22??bn2)?(a1b1?a2b2??anbn)2．

3. 已知实数x,y满足(x?2)3?2012(x?2)?1，(y?2)3?2012(y?2)??1，试求x?y的值．

4. 若实数a,b满足a3?3a2?5a?1，b3?3b2?5b?5，求a?b的值．

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若(x?y?1，则x?y?0．

6.请写出一个整系数多项式函数f(x

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)f(x)?0的一个根．

7. 若关于x的方程(x2?1)2?x2?1?k?0恰有8个不同的实根，求实数k的取值范围；更一般地，试讨论k的不同取值与方程根的个数的关系．

8. 设x,y?R，M?max{x?y,x?y,?x,?y，试求M的最小值．

9. 设实数a,b满足3a?13b?17a，5a?7b?11b，证明：1?a?b?2．

xx2

10. 设x?0，a?

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0?1??成立的最大的a值． 2a

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