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第八讲--反函数

上传者:谭多鸿
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上传时间:2015-04-15
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第八讲--反函数

高中数学竞赛讲义

第八讲 反函数

反函数的定义

一般地,函数y?f(x)(x?A)中,设它的值域为C.我们根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出来,得到x??(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x??(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应,那么x??(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数.

?C)这样的函数x??(y)(y叫作函数y?f(x)(x?A)的反函数,记作

x?f?1(y),习惯起见,又改写成y?f?1(x).

1.反函数存在的条件

只有自变量与函数值是一一对应的函数才有反函数.注意,单调函数必存在反函数,但反过来,存在反函数的函数不一定单调.

2.求反函数的一般方法

(1)由y?f(x)反解出x?f?1(y);(2)将x?f?1(y)中的x,y互换位置,得

(3)求y?f(x)的值域即为y?f?1(x)的定义域. y?f?1(x);

3.反函数的相关性质

(1)函数y?f(x)与y?f?1(x)函数的定义域,原函数的定义域是反函数的值域;

(2)函数y?f(x)与y?f?1(x)在同一直角坐标系中的图象关于直线y?x对称;

(3)互为反函数的两个函数在相同区间内单调性相同.

(4)若y?f(x)与y?f?1(x)互为反函数,函数y?f(x)定义域为A,值域为B,则f[f?1(x)]?x(x?B),f?1[f(x)]?x(x?A).

(5)奇函数不一定有反函数,如果有,则它的反函数也是奇函数;偶函数在一般情况下无反函数,除非是那个既奇又偶函数.

1.对任意不为1的正数a,函数f(x)?loga(x?3)的反函数的图象都经过点P,则点P的坐标为__________.

2.已知函数y?f(x)存在反函数y?f?1(x),若函数y?f(1?x)的图象经过点(3,1),则函数y?f?1(x)的图象必经过点__________.

1

高中数学竞赛讲义

3.

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已知函数f(x)?1(a,b)既在函数f(x)的图像上,又在其反函数的图像上,求a,b的值.

4.已知函数y?f(x)有反函数.定义:若对给定的实数a(a?0),函数

;若函y?f(x?a)与y?f?1(x?a)互为反函数,则称y?f(x)满足“a和性质”

数y?f(ax)与y?f?1(ax)互为反函数,则称y?f(x)满足“a积性质”.

(1)判断函数g(x)?x2?1(x?0)是否满足“1和性质”,并说明理由;

(2)求所有满足“2和性质”的一次函数;

(3)设函数y?f(x)(x?0)对任何a?0,满足“a积性质”,求y?f(x)的表达式.

x?11(x?R,x?).求证: ax?1a

(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴; 5.给定实数a?0,且a?1,设函数y?

(2)这个函数的图象关于直线y?x成轴对称;

(3)你能否再给出一些函数,其图象关于直线y?x成轴对称图形.

6.设f(x)?log21?x1?f(x). ,F(x)?1?x2?x

(1)试判断函数F(x)的单调性,并用函数单调性的定义给出证明;

(2)若f(x)的反函数为f?1(x),证明:对任意的正整数n?3都有f?1(n)?n; n?1

(3)若F(x)的反函数为F?1(x),证明:F?1(x)?0有唯一解.

2

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