第八讲--反函数

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第八讲--反函数

高中数学竞赛讲义

第八讲反函数

反函数的定义

一般地，函数y?f(x)(x?A)中，设它的值域为C．我们根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到x??(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过x??(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么x??(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数．

?C)这样的函数x??(y)(y叫作函数y?f(x)(x?A)的反函数，记作

x?f?1(y)，习惯起见，又改写成y?f?1(x)．

1.反函数存在的条件

只有自变量与函数值是一一对应的函数才有反函数．注意，单调函数必存在反函数，但反过来，存在反函数的函数不一定单调．

2.求反函数的一般方法

（1）由y?f(x)反解出x?f?1(y)；（2）将x?f?1(y)中的x,y互换位置，得

（3）求y?f(x)的值域即为y?f?1(x)的定义域． y?f?1(x)；

3.反函数的相关性质

（1）函数y?f(x)与y?f?1(x)函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域；

（2）函数y?f(x)与y?f?1(x)在同一直角坐标系中的图象关于直线y?x对称；

（3）互为反函数的两个函数在相同区间内单调性相同．

（4）若y?f(x)与y?f?1(x)互为反函数，函数y?f(x)定义域为A，值域为B，则f[f?1(x)]?x(x?B)，f?1[f(x)]?x(x?A)．

（5）奇函数不一定有反函数，如果有，则它的反函数也是奇函数；偶函数在一般情况下无反函数，除非是那个既奇又偶函数．

1.对任意不为1的正数a，函数f(x)?loga(x?3)的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标为__________．

2.已知函数y?f(x)存在反函数y?f?1(x)，若函数y?f(1?x)的图象经过点(3,1)，则函数y?f?1(x)的图象必经过点__________．

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已知函数f(x)?1(a,b)既在函数f(x)的图像上，又在其反函数的图像上，求a,b的值．

4.已知函数y?f(x)有反函数．定义：若对给定的实数a(a?0)，函数

；若函y?f(x?a)与y?f?1(x?a)互为反函数，则称y?f(x)满足“a和性质”

数y?f(ax)与y?f?1(ax)互为反函数，则称y?f(x)满足“a积性质”．

（1）判断函数g(x)?x2?1(x?0)是否满足“1和性质”，并说明理由；

（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；

（3）设函数y?f(x)(x?0)对任何a?0，满足“a积性质”，求y?f(x)的表达式．

x?11(x?R,x?)．求证： ax?1a

（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴； 5.给定实数a?0，且a?1，设函数y?

（2）这个函数的图象关于直线y?x成轴对称；

（3）你能否再给出一些函数，其图象关于直线y?x成轴对称图形．

6.设f(x)?log21?x1?f(x)．，F(x)?1?x2?x

（1）试判断函数F(x)的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；

（2）若f(x)的反函数为f?1(x)，证明：对任意的正整数n?3都有f?1(n)?n； n?1

（3）若F(x)的反函数为F?1(x)，证明：F?1(x)?0有唯一解．

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