一道不等式的推广

亦即

a(1?a)+b(1?b)+c(1?c)9

≥.

(1?a)(1?b)(1?c)4

一道不等式的推广

福建长乐七中 谢星恩 林世中

4(a+b+c)?4(a2+b2+c2) ≥9(ab+bc+ca?abc),

8(ab+bc+ca)≥9(ab+bc+ca)?9abc,

9abc≥ab+bc+ca,

ac(9b?1)≥b(1?b). (*) 1

取b=,显然(*)不成立,从而(8')不成立.

9

此外,不等式(1')和(2')的证明并不简单,现给出(1')的一个证法.

a4b4

证明 (1')?2+

ab+a2c2b2c+a2b2

c43+2≥. (1'') 22ac+bc4

欲使(1'')成立,根据柯西不等式,只需

(a2+b2+c2)2

a2b+b2c+c2a+a2b2+b2c2+c2a23

≥. (2'') 4

?4(a4+b4+c4)+5(a2b2+b2c2+c2a2)

≥3(a2b+b2c+c2a)

?4(a4+b4+c4)+5(a2b2+b2c2+c2a2) ≥3(a2b+b2c+c2a)(a+b+c)

?4(a4+b4+c4)+2(a2b2+b2c2+c2a2) ≥3(a3b+b3c+c3a)+3abc (3'') 因a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2

≥abc(a+b+c)=abc.

故(3'')成立,仅需

a4+b4+c4≥a3b+b3c+c3a. (4'')

1111

而 a4+a4+a4+b4≥a3b,

44441111

b4+b4+b4+c4≥b3c,

44441111

c4+c4+c4+a4≥c3a.

4444

上述三式相加,即有(4'')成立,从而(3''),(2''),(1'')成立,即(1')成立.

完全类似的可证明不等式(2').

人教版教材高中数学第二册上(必修)第30页有这样一道习题

已知:a>b>c,求证:

111

++>0. a?bb?cc?a此题可推广如下:

(1)已知a>b>c,求证:

114

++≥0. a?bb?cc?a

11

证明 ∵(a?c)(+

a?bb?c

11

=[(a?b)+(b?c)](+)≥4,

a?bb?c

114∴+≥，　a?bb?ca?c114∴++≥0．　a?bb?ca?c

(2)已知a>b>c>d,求证:

1119+++≥0. a?bb?cc?dd?a

111

证明 ∵(a?d)(++)

a?bb?cc?d

=[(a?b)+(b?c)+(c?

111d)](++)≥9,

a?bb?cc?d1119∴++≥, a?bb?cc?da?d1119∴+++≥0. a?bb?cc?dd?a(3)已知:a1>a2>L>an,求证: 111

++L+ a1?a2a2?a3an?1?an

(n?1)2

+≥0. an?a1

证明 ∵(a1?an)(

11

+ a1?a2a2?a3

?23?

1

+L+

an?1?an

=[(a1?a2)+(a2?a3)+L+(an?1?an)] 111?(++L+)≥(n?1)2, a1?a2a2?a3an?1?an

∴

111

++L+

a1?a2a2?a3an?1?an

n2(n?1)2

=≥n2(n≥3),

4149

+++L+ ∴

a1?a2a2?a3a3?a4

(n?1)2n2

, ≥

an?1?anan?a1

∴

149

+++L a1?a2a2?a3a3?a4

(n?1)2n2++≥0. an?1?anan?a1参考文献

[1] 许金松.对一道不等式习题的探究性学习.数学通 报.2004.9.

≥(n?1)2/(an?a1),

111

++L++ ∴

a1?a2a2?a3an?1?an

(n?1)2

≥0.

an?a1

(4)已知:a>b>c,求证:

149

++≥0. a?bb?cc?a

14

证明 ∵(a?c)(+

a?bb?c

14

=[(a?b)+(b?c)](+,

a?bb?c

由柯西不等式,得:

14

[(a?b)+(b?c)](+)

a?bb?c

≥(1+2)2=9.

149∴+≥, a?bb?ca?c149∴++≥0. a?bb?ca?c(5)已知:a1>a2>L>an,

149

求证:+++L+

a1?a2a2?a3a3?a4(n?1)2n2

+≥0(n≥3).

an?1?anan?a1

证明

14(n?1)2

∵(a1?an)[++L+

a1?a2a2?a3an?1?an=[(a1?a2)+(a2?a3)+L+(an?1?an)]? 14(n?1)2

[ ++L+a1?a2a2?a3an?1?an≥[1+2+L+(n?1)]2

?24?

二面角的平面角与其面的

法向量夹角的关系判定

福建莆田第五中学 郑剑晖 郑毓青

空间向量引入后,用空间向量解决立体几何中的垂直、平行、共面、角、距离等问题,可以减少辅助线,避开复杂的空间想象,降低了解题的难度,求二面角α?l?β的大小问题可以转化为二面角两个面所对应的法向量与法向量夹角的问题,避免了寻找二面角的平面角的麻烦,一般步骤如下:

uvv

(1)求平面α,平面β的法向量m,n.

uvv

(2)求<m,n>的大小.

(3)利用二面角α?l?β与其法向量夹角

uvv

关系,得出二面角α?l?β的大小为<m,n>

uvv

或π?<m,n>.

uvv

其中<m,n>的大小可以计算得出,但二

uvvuv

面角α?l?β的大小是<m,n>还是π?<m, v

n>却不易确定,解题时往往结合图形观察作出判断,此法不科学,也容易产生误判.

本文给出一种可行的判断方法,以供借鉴. 定理 若M、N分别为二面角α?l?β

uvv

的两个半平面上二点,且M?l,N?l,m,n分