线性代数九大经典题型

第一题，例1

a1221

a2231

a3142

a4152

已知A=

=9，则代数余子式A21+A22=?

解：根据代数余子式求行列式性质

2(A21+A22)+A23+A24=9

A21+A22+2(A23+A24)=0

2x+y=9 x=6

A21+A22=x，A23+A24=y A21+A22=6

+=x2y03= y

例2

设A是3阶矩阵，A的特征值是1,2,3，则A11+A22+A33=?

1

a11 解：设A=a21 a31

a12

a22a32

a13 A11

*

，则A=A12a23

a33 A13

A21

A22A23

A31 A23 A33

A11+A22+A33=λ1*+λ2*+λ3* Aα=λα A 1α=

α|A|α

A*α= λλ

|A||A||A|

++=λ1 1|A|+λ2 1|A|+λ3 1|A|λ1λ2λ3

A11+A22+A33=λ1*+λ2*+λ3*=

=1*

例3

111+2*+3*=1 666

设A是3阶矩阵，A的特征值是2,1, 1，第二列是[1,1,1]，求A11A23 A21A13

T

a111a13 A11

*

解：设A=a211a23，则A=A12

a311a33 A13

由题意可知|A|=2*1* 1= 2

A21

A22A23

A31 A32 A33

1

a12A12+a22A22+a32A32= 2

根据代数余子式求行列式性质 a12A11+a22A21+a32A31=0

aA+aA+aA=0 121322233233 A12+A22+A32= 2T

Q第二列是[1,1,1] A11+A21+A31=0

A+A+A=0

2333 13A11

|A*|=A12

A13

A21A22A23

A31A11A32=A12A33A13

A21

A22A32

A11+A21+A31A11A12+A22+A32=A12A13+A23+A33A13

A21

A22A32

0 20

= 2*( 1)2+3(A11A23 A21A13)=A11A23 A21A13=2

|A||A||A| 2 2 2

==4 ****

λ1λ2λ3 112

【点评】因为具体数字的行列式计算比较简单，所以不太会考具体数字行列式计算。以上3题（除了第1题）都不是具体数字行列式计算，而是运用公式计算。

|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3+.......+ainAin,(i=1,2,...,n)

主要运用公式：

|A|=a1jA1j+a2jA2j+a3jA3j+.......+anjAnj,(j=1,2,...,n)ai1Aj1+ai2Aj2+ai3Aj3+.......+ainAjn=0(i≠j)a1jA1j+a2jA2j+a3jA3j+.......+anjAnj=0(i≠j)

第3题比较难，大家可以细细品味

第二题，

(a) A为N阶矩阵，秩为R，如果A只有0,1特征值，是推不出有R个特征 010

值1，N R个特征值0。例如000，以此类推……..

001

结论：只有A可对角化，才能推出有R个特征值1，N R个特征值0。

(b) 对于两个非零列向量α,β (n维)，A=αβT有如下结论

2

1 r(A)=1，且反之也成立，即秩为1的矩阵可以分解为列向量与行向量相

乘

2 A满足矩阵方程A (βTα)A=0

3 A有特征值λ1=0(n 1重)，λ2=βTα(1重)。且λ2=βTα所对应的所

TT

α=αβα=βα)α (A有特征向量kα，k≠0 ，λ1=0所对应的特征向

2

量

(0*E A)x=0的解 Ax=0 λ1=0有n 1个线性无关的特征向量

4 当βTα≠0，A一定可以对角化。当βTα=0，A一定不可以对角化

例子1

设α,β为两个3维非零列向量，记A=αβT，则λ=0为几重根？ 由(b)第4条结论可知：

当βTα≠0,A一定可以对角化，再由(b)第3条结论可知，有3 1=2个0根 所以全是0当βα=0,A一定不可以对角化，AA=αβαβ=0 λ=0，根

综上，λ=0至少为2重根

例子2

T

T

T

2

A为N阶矩阵，秩为R，有A2=2A，能否推出R个特征值2，N R个特

征值0?

证明：由Aα=λα可知，λ2 2λ=0 λ1=2,λ2=0

QA*A=2A，

∴A的列向量为特征值2所对应的特征向量.

又Qr(A)=R，

∴特征值2对应了R个线性无关的特征向量

Q(0*E A)x=0 Ax=0 r( A)=R r(A)=R

根据Ax=0齐次方程根解的个数 特征值0所对应了N R个线性无关的

3

解向量

∴根据对角化定义知A有R个特征值2，N R个特征值0， 0(1)(1)

A可对角化，即A: M

0 (N)(1)

K0(N R)(N R)

L

0(1)(N)

M 2(N)(N)

第三题，A为N阶矩阵，证明r(An+1)=r(An)

证明：当Ax=0 A

n

n+1

x=0

An+1x=0，当A可逆 AAnx=0 Anx=0

当A不可逆，即A

n+1

x=0有非零解

即An+1β=0，假设An+1β=0，Anβ≠0

An+1β=0

…..

An+1(Aβ)=0

…..

An+1(A2β)=0

…..

An+1(A3β)=0 …………. An+1(Anβ)=0 An+1至少有n+1个解，与至少n个解矛盾

所以An+1β=0 Anβ=0

∴An+1x=0与Anx=0同解 ∴r(An+1)=r(An)

【点评】

一般来说证明r(A

n+1

)=r(An)，都是用同解的思路

第四题，1，证明若P为列满矩阵（即P的秩为其列数），则r(PB)=r(B)

2，设m*n实矩阵A为列满矩阵（即r(A)=n），试证：AA有m个大于等于

T

0特征值（即λ≥0）

解：1，Bx=0 PBx=0，属于矩阵B的解也属于矩阵PB的解

4

当PBx=0，Q P为列满矩阵 ∴PBx=0 Bx=0 ∴Bx=0与PBx=0同解

∴r(PB)=r(B)

2， Qr(A)=n,∴Ax=0 只有零解

当∴x≠0 Ax≠0

Q(ATA)T=ATA ATA是对称矩阵 QxTATAx=(Ax)TAx>0 ∴ATA为正定矩阵 r(ATA)=n

存在特征向量αi且所对应的特征值λi有AAαi=λαii，λi>0

T

AATAαi=λiAαi

即λi为AA中特征向量Aαi对应的特征值

TQATA正定，ATAαi=λαii， r(AA)=n

T

∴λi共有n个，且都大于0-------------------------------------（1）

又Qr(AAT)=r(AT)=n根据第1小题的结论可知

∴AATx=0有m n个0重根----------------------------------（2）

综上，AA有m个大于等于0特征值（即λ≥0）

【根据（1）+（2）得出的】

【点评】第1小题比较好做，通过同解即可求证。第1小题属于基本思路。第2小题是比较难的，难在综合知识点的串联，这里涉及到方程组解、合同、正定、特征值与特征向量这些知识点，第2题不要求会做，但一定要看懂，开拓大家的思路，加强对“线代”思考方向的能力

T

第五题，例1

5