最短线段在解题中的重要应用 案例

　　“线段最短”问题的重要应用

　　甘肃省定西市安定区内官营中学 高尚军

　　一、案例研究背景

　　数学的内容博大精深，随着基础教育改革和中小学课程特色体系的不断深入开展，就“线段最短”问题相关案例可谓是千变万化，这一问题解题的思路和方法就是根据轴对称知识实现化“折”为“直”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”来解决。具备这一数学思想，涉及直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、一次函数、反比例函数、抛物线等为载体的案例通过分类，可收到举一反三，事倍功半的效果。

　　二、案例研究来源

　　在人教版八年级上册P42，有这样一个问题：

　　在这个问题中，利用轴对称将折线转化为直线，再根据“两点之间

　　线段最短”，“垂线段最短”等知识

　　得到最短线段。

　　三、案例研究

　　1.两点之间线段最

　　（1）如图1，直线l

　　线l上求作一点P，使PA+PB最小。

　　短 和l的异侧两点A、B，在直

　　（2）如图2，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

　　（3）如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。

　　4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B，使四边形PAQB的周长最小。

　　2.垂线段最短

　　1.如图5，点A是∠MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。

　　图5 图6 图7

　　2.如图6和7，点A是∠MON内的一点，在射线OM上作点P，使PA与点

　　P

　　到射线ON的距离之和最小。

　　三、中考试题举例

　　（一)两点之间线段最短题型：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、函数等。

　　直线类

　　1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多

　　少？

　　解：作点B关于直线CD的对称点B'，连接

　　AB'，交CD于点M

　　则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，

　　费用最小。如右图，在直角△AB'E中，AE = AC+CE = 10+30 = 40 ，EB' = 30， 所以：AB' = 50，总费用为：503 = 150万。

　　变式．如图C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，

　　连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，

　　设CD=x.

　　(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；

　　(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?

　　(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值。

　　解：(2)A、C、E三点共线时AC+CE最小，连接AE/，交BD于点C，则AE/就是AC+CE的最小值，最小值是10.

　　(3)如右图AE的长就是代数式（0≤x≤8）的最小值，在直角△AEF中,AF =5 ，EF = 12 根据勾股定理：AE/ = 13.

　　角类

　　2．两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有

　　一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油

　　站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可

　　使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加

　　油站，最后回到油库所走的路程最短.

　　分析：这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.

　　解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.

　　点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。

　　3．如图∠AOB = 45，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

　　分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，

　　交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，

　　则OP = OP1 = OP2 = 10，且∠P1OP2 = 90

　　由勾股定理得P1P2 = 10

　　三角形类

　　4．如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E

　　是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，

　　则PB+PE的最小值为

　　即在AC上作一点P，使PB+PE最小

　　作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交

　　AC于点P，则B'E = PB'+PE = PB+PE，B'E的长就是PB+PE的最小值 在直角△B'EF中，EF = 1，B'F = 3，根据勾股定理得B'E

　　7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

　　即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小

　　作点C关于直线AB的对称点C'，连接DC'交AB于点E，则线段DC'的

　　长就是EC+ED的最小值。

　　在直角△DBC'中

　　DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'=

　　8．等腰△ABC中，∠A = 20，AB = AC = 20，M、N分别是AB、AC

　　上的点，求BN+MN+MC的最小值

　　分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’，连接C’B’交AB、AC于

　　点M、N，则BN+MN+MC = B’N+MN+MC’ = B’C’， BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值

　　∵∠BAC’ = ∠BAC，∠CAB’ = ∠CAB

　　∴∠B’AC’ = 60

　　∵AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB

　　∴AC’ = AB’

　　∴△AB’C’是等边三角形

　　∴B’C’ = 20

　　9．如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是

　　M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值

　　AC上的一点，

　　因为点C关于直线AD的对称点是点

　　B，所以连接BE，交AD于点M，则

　　ME+MD最小，

　　过点B作BH⊥AC于点H，

　　则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = =

　　= 3

　　在直角△BHE中，BE = = = 2

　　(四)正方形类

　　10．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。

　　即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小

　　故作点D关于AC的对称点B，连接BM，

　　交AC于点N。则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ

　　线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值

　　在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，

　　则ＢＭ＝１０

　　故DN＋ＭＮ的最小值是１０

　　11．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）

　　A．2 B．2 C．3 D．

　　即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小

　　点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE = PB+PE = PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值

　　BE = AB = 2

　　12．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

　　即在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小

　　因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点

　　DQ = PD+PQ = PB+PQ

　　故DQ的长就是PB+PQ的最小值

　　在直角△CDQ中，CQ = 1 ，CD = 2

　　根据勾股定理，得，DQ =

　　13．如图，四边形ABCD是正方形， AB = 10cm，E为

　　边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小

　　值；

　　连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值

　　在直角△ABE中，求得AE的长为5

　　(五)矩形类

　　14．如图，若四边形

　　为边BC上的一个动点，P

　　作点C关于BD的对称点

　　C'E就是PE+PC的最小值

　　20直角△BCD中，CH = 5

　　直角△BCH中，BH = 8

　　△BCC'的面积为：BH

　　所以 C'EBC = 2160 则CE' = 16 ABCD是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值； C'，过点C'，作C'B⊥BC，交BD于点P，则错误！未定义书签。 CH = 160

　　(六)菱形类

　　15．如图，若四边形ABCD是菱形， AB=10cm，∠ABC=45，

　　E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的

　　最小值；

　　点C关于BD的对称点是点A，过点A作AE⊥BC，交BD于

　　点P，则AE就是PE+PC的最小值

　　在等腰△EAB中，求得AE的长为5

　　(七)直角梯形类

　　16．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，

　　点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为

　　（ ）

　　A、 B、 C、

　　D、3

　　作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点P

　　则A'D = PA'+PD = PA+PD

　　A'D的长就是PA+PD的最小值

　　S△APD = 4

　　在直角△ABP中，AB = 4，BP = 1

　　根据勾股定理，得AP =

　　417所以AP上的高为：217= 17

　　(八)圆类

　　17．已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60，点B是︵的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

　　即是在直线CD上作一点P，使PA+PB的值最小

　　作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，则A'B的长就是PA+PB的最小值

　　连接OA'，OB，则∠A'OB=90， OA' = OB = 4

　　根据勾股定理，A'B = 4

　　18．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )

　　A 2 B C 1 D 2

　　即在MN上求一点P，使PA+PB的值最小 作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，

　　则点P就是所要作的点

　　A'B的长就是PA+PB的最小值

　　连接OA'、OB，则△OA'B是等腰直角三角

　　形

　　所以 A'B =

　　(九)一次函数类

　　19．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．

　　点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小

　　设直线A'B的解析式为y=kx+b，则 -2=-k+b 2=4k+b

　　解得：k = (4/5) b = - (6/5) 所以：y = (4/5)x-(6/5) 当x = 1时，y = -(2/5)

　　故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小

　　20．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式；

　　（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标． (1)由题意得： 0 = 2x+b 4 = b

　　解得 k = -2，b= 4，所以 y = -2x+4 (2)

　　作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P 则C'D = C'P+PD = PC+PD

　　C'D就是PC+PD的最小值

　　连接CD，则CD = 2，CC' = 2

　　在直角△C'CD中，根据勾股定理 C'D = 2

　　求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)

　　所以，有

　　0 = -k+b

　　2 = k+b

　　解得 k = 1，b = 1，所以 y = x+1

　　当x = 0时，y =1，则P(0，1)

　　1k21．如图，一次函数 y = 2与反比例函数y = x交于点A，AM⊥x轴于点M，S△OAM

　　= 1

　　(1)求k的值，

　　k(2)点B为双曲线y = x上不与A重合的一点，且B(1，n)，在x轴上求一点P，使PA+PB

　　最小

　　(1)由S△OAM = 1知，k = 2

　　(2)作点A关于x轴的对称点A’，连接A’B，交x轴于点P，连接PA，则PA+PB最小。

　　用待定系数法求直线A’B的解析式为y = - 3x + 5，

　　因为点P在x轴上，所以设 y = 0，即0 = - 3x + 5，

　　5解得 x = 3

　　5所以P( 3，0)

　　22．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．

　　（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；

　　（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 （不必证明）；

　　运用与拓广：

　　（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

　　(1)点B(5，3)、C(-2，5)关于直线l的对称点B'(3，5)、

　　C'(5，-2)

　　(2)坐标平面内任一点P(a，b)关于直线l的对称点P'的坐

　　标为(b，a)

　　(3)作点E关于直线l的对称点E'，连接DE'，交直线l

　　于点Q

　　则QE+QD的值最小

　　设直线DE'的解析式为：y = kx+b，因为D(1，-3)、E'(-4,-1)，

　　则

　　-3 = k+b

　　-1 = -4k+b

　　213

　　解得：k = - 5，b = - 5

　　2所以 y = - 5

　　13x - 5

　　当x = y时，有

　　13x = y = - 7

　　则Q点的坐标

　　1313为(- 7，- 7)

　　(十)二次函数类

　　23．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.

　　（1）求点B的坐标；

　　（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；

　　（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）

　　(1)B(1，)

　　(2) 3

　　(3)因为点O关于对称轴的对称点是点A，则连接AB，

　　交对称轴于点C，则△BOC的周长最小

　　33，当x=-1时，y = 3

　　3所以C(-1，3)

　　324．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为 (1，- 3)，交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0，- )．

　　（1）求抛物线的表达式．

　　（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180，得到四边形ADBC．

　　判断四边形ADBC的形状，并说明理由．

　　（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，

　　若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

　　(3)

　　作点B关于AC的对称点G，连接DG，交AC于点F，则△FBD的周长最小

　　1因为CF∥BD，CG = 2，所以F(3)

　　25．如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)．

　　（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

　　（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

　　（3）点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．

　　3(1) y = 2

　　(3)作点C关于x轴的对称点C’，连接C’D，交x轴于点M，则MC+MD的值最小，求出直线C’D的解析式，即可得到M点的坐标

　　2441

　　方法点拨：此

　　类试题往往

　　以角、三角

　　形、菱形、矩

　　形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背

　　景，但都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出

　　“建泵站问题”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和，利用“两点之间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决。有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此时会含有定长的线段，依然可以转化为“建泵站问题”。

　　26．如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，

　　(1)求抛物线的解析式；

　　(2)求当AD+CD最小时点D的坐标；

　　(3)以点A为圆心，以AD为半径作圆A；

　　①证明：当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切；

　　②写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。

　　(2)

　　连接BC，交直线l于点D，则DA+DC = DB+DC = BC，

　　BC的长就是AD+DC的最小值

　　BC：y = -x + 3

　　则直线BC与直线x = 1的交点D(1，2)，

　　27．如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5）．

　　（1）求该二次函数的解析式；

　　（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

　　(1) y = x2 – 4x - 5

　　(2)BC：y = x - 5

　　P(2，-3)

　　28．已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D(3，－2)、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．

　　(1)求直线BC的解析式；

　　(2)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；

　　(3)设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．