(第二周)九上第二十一章21.2解一元二次方程

　　解一元二次方程：公式法

　　1. 推导一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)求根公式

　　利用配方法：

　　ax2?bx?c?0

　　bcx2?x??aa

　　bc?b??b?x?x????????aa?2a??2a?222

　　b?b2?4ac??x???2a?4a2?

　　bx??2abx???2a2a

　　x?2

　　?b?一般地，当b?4ac?0时，一元二次方程ax

　　?bx?c?0(a?0)的根为x?，这个公式叫2a22

　　做一元二次方程的求根公式。利用求根公式直接解一元二次方程的方法叫做公式法。

　　2. b?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)根的判别式，所谓“根的判别式”就是用来判断方程的根

　　2

　　的情况的式子，由x?可得： 2（1）当b?4ac?0时，一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个不相等的实数根；

　　2（2）当b?4ac?0时，一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个相等的实数根；

　　2（3）当b?4ac?0时，一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)没有实数根；

　　上述结论，反之也成立。

　　3. 若一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个实数根，则b?4ac?0。 2

　　例题1 用公式法解下列方程：

　　（1）x?3x??2； （2） 2?x?1??x?1??x。 2

　　思路分析：首先将方程化为一般形式，确定ａ、ｂ、ｃ的值，然后计算出b?4ac的值，最后代入求根公式进行计算。

　　答案：

　　（1）解：∵x?3x??2，

　　∴x?3x?2?0， 222

　　a?1，b?3，c?2，

　　b2?4ac=32?4?1?2?1，

　　1

　　?3?1∴x?， =2

　　?3?1?3?1??1，x2???2 ∴x1?22

　　（2） 解：∵2?x?1??x?1??x，

　　∴2x?x?2?0， 2

　　a?2，b??1，c??2，

　　b2?4ac=??1??4?2???2??17，

　　2

　　?b11?∴x?

　　==2a2?24

　　∴x1? x2?点评：用公式法解一元二次方程关键有两点：①找准ａ、ｂ、ｃ的值，②代入计算。为了找准ａ、ｂ、ｃ的值，首先要将方程化为一般形式，其次代入求根公式进行计算不能出错。

　　222例题2 用公式法解关于x的方程x?3mx?2m?mn?n?0。

　　思路分析：关于x的方程即x是未知数而将ｍ看做是常数。

　　，b??3m，c?2m?mn?n，答案：解：在这里a?1

　　∴b?4ac???3m??4?1?2m?mn?n22222?2??m2?4mn?4n2?(m?2n)2?0，

　　3m?(m?2n)∴x?， ?2

　　∴x1?2m?n，x2?m?n

　　点评：解关于x的方程就是把x看做未知数而其他的字母均看做已知数，并且要注意ａ、ｂ、ｃ的符号，及运算的准确性。

　　2例题3 （四川泸州）若关于x的一元二次方程kx?2x?1?0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围

　　是（ ）

　　A. k??1 B. k?1且k?0

　　即k?0，所以选D。

　　答案：D

　　点评：本题主要考查两方面的内容：一元二次方程的概念及根的判别式，同时也考查了列、解不等式（组）的知识，有较大的综合度。本题有一个易错点：只注重根的判别式，而忽视二次项系数不为0这个隐含条件。

　　【技巧突破】用公式法解一元二次方程的一般步骤：

　　（1）把一元二次方程化成一般形式；

　　（2）确定a、b、c的值，注意包含前面的符号；

　　（3）求出b?4ac的值（或表达式）；

　　（4）在b?4ac?0的前提下，把a、b、c及b?4ac的值代入求根公式，求出x1,x2，若b?4ac?0，则原方程无解。 2C. k??1且k?0 D. k??1且k?0 22思路分析：由题意，得b?4ac?0，即??2??4?k???1??0，解得k??1，注意到二次项系数不能为0，222

　　2

　　【高频疑点】将一元二次方程的定义与根的判别式结合起来考查是中考的一个热点，命题的老师常会在这里设置“陷阱”，这个陷阱就是二次项系数不是一个具体的数值，而是一个代数式，于是这里就隐含着一个条件，即此代数式的值不能为0，因为如果此代数式的值为0，那么此方程就不是一元二次方程了。

　　（湖北省咸宁市）关于x的一元二次方程?a?1?x2?2x?3?0有实数根，则整数a的最大值是（ ）

　　A. 2 B. 1 C. 0

　　答案：根据题意(?2)2?4(a?1)?3?0

　　化简得4?3a， 即a?D. ?1 4， 3

　　又因为方程为一元二次方程，所以a?1?0

　　即a?1，

　　综上得整数a的最大值为0。

　　故选C。

　　一元二次方程根与系数的关系

　　2一、考点突破

　　bc，x1?x2=。 aa1. 掌握一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?，当b?4ac?0时，设其两根为x1,x2，则这两个根与系数a，b，c的关系为：x1?x2=?2. 利用一元二次方程根与系数的关系解题。

　　二、重难点提示

　　重点：一元二次方程根与系数的关系。

　　难点：一元二次方程根与系数的关系的应用。

　　1. 对于一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?，当b?4ac?0时，设其两根为x1,x2，则这两个根与系数22

　　a，b，c的关系为x1?x2=?bc，x1?x2=，这个关系我们称为一元二次方程根与系数的关系；举例：aa

　　x2?2x?3?0。

　　2. 推导一元二次方程根与系数的关系：

　　我们知道，当b?4ac?0时，一元二次方程ax

　　?bx?c?0(a?0)的根为x1?

　　，?b，

　　x

　　2?2?

　　2bbx1?x2?????

　　? 2aa

　　22?b?bb??b?4ac?4accx1?x2???2?。 2a2a4a24aa22

　　3

　　【随堂练习】

　　（湖北黄冈）已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为（ ）

　　A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

　　思路分析：此题最直接的思路是根据一元二次方程根的定义，将x＝2代入原方程，得4－12＋c＝0，c＝8，所以原方程就是x2－6x＋8＝0，解之得x＝2或4，所以另一根为4。另辟蹊径，巧解如下：设另一根为x，由一元二次方程根与系数的关系，得x＋2＝6，所以x＝4。

　　答案：C

　　例题1 （四川泸州）设x1,x2是方程x2?3x?3?0的两个实数根，则

　　A. 5 B. －5 C. 1 D. －1 x2x1?的值为（ ） x1x2

　　思路分析：最直接的思路是解方程，然后将两根代入求值，但是此方程的解是有根号的无理数，运算量很大，费时费力且容易出错。另辟蹊径，巧解如下：利用根与系数的关系得出x1＋x2＝－3，x1x2＝－3，则原式x12?x22(x1?x2)2?2x1x2＝错误！未找到引用源。＝－5。 ??x1x2x1x2

　　答案：B

　　点评：本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了分式的通分，配方法、代数式的求值。

　　例题2 （湖北省鄂州市）已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若（m－1）（n－1）＝－6，则a的值为（ ）

　　A. －10 B. 4 C. －4 D. 10

　　思路分析：利用根与系数的关系将m＋n与mn用含有字母a的代数式表示，然后将（m－1）（n－1）＝－6变形，把m＋n与mn用含有字母a的代数式整体代入，把问题转化成一个关于a的方程，求出a的值即可。

　　答案：根据题意得：m＋n＝3，mn＝a，∵（m－1）（n－1）＝mn－（m＋n）＋1＝－6，∴a－3＋1＝－6，解得：a＝－4。故选C。

　　点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键，此外注意感悟转化的思想以及方程这一数学模型的应用。

　　例题3 （湖北孝感）已知关于x的一元二次方程x2＋（m＋3）x＋m＋1＝0。

　　（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

　　（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝

　　2，求m的值和此时方程的两根。

　　思路分析：（1）利用一元二次方程的根的判别式判定该方程根的情况；

　　（2）利用根与系数的关系构建关于m的方程，并求解。

　　答案：（1）证明：此方程中a＝1， b＝m＋3， c＝m＋1，

　　∴△＝（m＋3）2－4（m＋1）＝（m＋1）2＋4，

　　∵无论m取何值，（m＋1）2＋4恒大于0，

　　∴原方程总有两个不相等的实数根。

　　（2）解：∵x

　　，x2是原方程的两根，∴x1＋x2＝－（m＋3），x1x2＝m＋1，

　　∵|x1－x2|＝

　　∴（x1－x2）2＝8，即（x1＋x2）2－4x1x2＝8，

　　∴[－（m＋3）]2－4（m＋1）＝8，即m2＋2m－3＝0。

　　4

　　解得：m1＝－3，m2＝1。

　　当m＝－3时，原方程化为：x2－2＝0，解得：x1

　　，x

　　当m＝

　　1时，原方程化为：x2＋4x＋2＝0，解得：x1＝－2

　　，x2＝－2

　　点评：这道题综合程度较高，既考查了一元二次方程根的判别式，也考查了配方法和解方程，解关于m的方程m2＋2m－3＝0时，可以采用十字相乘法将方程左边进行分解，这种方法教材中未作介绍，感兴趣的同学可以探究一下。

　　【技巧突破】代数式的恒等变形

　　在利用一元二次方程根与系数的关系解题时，常常会遇到将代数式恒等变形的问题：

　　已知x1,x2是方程x?2x?1?0的两根，求下列代数式的值：

　　（1）2xx11?； （2）x12?x22； （3）2?1； （4）?x1?2??x2?2?。 x1x2x1x2

　　解此题的关键是将要求的代数式变形为含有?x1?x2?和x1x2的形式，然后整体代入。

　　公式法、因式分解法

　　1?6x的根时，a、b、c的值分别是 （ ） 2

　　11116 B. 5、?6 D. 5、?6、? 6 C. 5、A.5、2222

　　22. 方程x?x?1?0的一个根是 （ ） 公式法1. 利用求根公式求5x?2

　　5