附录 平面图形几何性质(讲稿)

　　材料力学 附录I

　　附录 平面图形的几何性质

　　材料力学的研究对象为杆件，杆件的横截面是具有一定几何形状的平面图形。

　　杆件的承载能力与其横截面图形的一些几何特性有密切的关系。 （小实验）

　　研究平面图形几何性质的方法：化特殊为一般 图I-1。

　　实际杆件的横截面： 抽象为：

　　特殊 一般

　　图I-1

　　1、静矩 形心位置

　　（１）静矩 图I-2：

　　图I-2

　　-1-

　　材料力学 附录I

　　微面积dA与Z轴、Y轴间距离的乘积ydA,zdA分别称为微面积dA对Z轴、Y轴的静矩。

　　整个截面对Z轴、Y轴的静矩可用下式来定义：

　　（若把A看作力）

　　定义：截面A对Z轴： ?AydA?SZ??

　　?ZdA?

　　A?Sy??

　　截面A对Y轴：

　　计算：①对（I-1）式直接积分：

　　②若已知截面的形心位置C，则SZ,Sy可以写成：

　　SY?AZc?

　　S?AY? （I-2）

　　Zc?

　　（２）形心的位置：

　　YC?SZ?

　　A??

　　Z?S? （I-3）

　　y

　　C?A??

　　性质：①截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过形心。

　　②截面对通过形心的轴的静矩恒等于零，即：

　　SZC?0; SYC?0

　　决定因素：静矩与截面尺寸、形状、轴的位置有关。

　　数值范围：可以为正、或负、或等于零。

　　单位：mm3,cm3,m3

　　（３）组合截面的静矩： I-1）

　　-2- （

　　材料力学 附录I

　　n??S??AiYi?zi?1? （I-4） ?n?Sy??AiZi??i?1?

　　即组合截面的整个图形对于某一轴的静矩，等于各组部分对于同一轴静矩代数和。

　　（I）组合截面的形心位置：

　　?n

　　??A?

　　yiYi

　　c?Szi?1?

　　A?

　　?n?

　　A?

　　i

　　i?1??

　　??n?

　　A

　　zS

　　c?y?iZi?

　　i?1?

　　A?

　　?n?

　　Ai?

　　i?1??

　　例题I-1 求图I-3所示截面图形的形心。

　　图I-3

　　解：把T形看成为由矩形Ⅰ和Ⅱ组成

　　∵y轴是对称轴

　　∴形心必在y轴上 I-5）

　　-3- （

　　材料力学 附录I

　　?① 求SZ'??

　　AI?80?20?1600mm2 AⅡ=120?20?2400mm2

　　yc??10mm（到Z′轴） ycⅡ=60+20=80mm

　　?n则：sz'??AiYi

　　i?1?1600?10?2400?80?20800mm3

　　②求yc＝？

　　AiYi??s208000?＝＝52mm yc＝z＝i?1n80?20?120?20AA?i

　　i?1n?

　　2、惯性矩（形心主惯性矩） 惯性半径 极惯性矩

　　图I-4

　　定义：（1）惯性矩

　　IZ?

　　Iy?ydA??? （I-6） ??ZdA??2A2

　　A

　　定义为截面对z轴,y轴的惯性矩。

　　（2）形心主惯性矩——若Z轴经过截面的形心，并取得最大或最小惯性矩，则该轴称为形心主惯性轴。截面对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩，用Izc，Iyc表示

　　-4-

　　材料力学 附录I

　　（3）惯性半径

　　i?

　　y?Iy

　　A??

　　iI? （I-7）

　　z?

　　z?A??

　　对于圆形截面 i=I

　　A?d

　　4

　　（4）极惯性矩：

　　Ip??A?2dA （I-8）

　　定义为截面对坐标原点的极惯性矩。

　　∵?2?y2?z2

　　∴Ip?Iy?Iz

　　计算方法：直接积分

　　例题I-2：惯性矩的计算

　　①求矩形截面对其对称轴（即形心轴）y、z的惯性矩？

　　图I-5

　　-5-

　　材料力学 附录I

　　h解：I2

　　z??AydA?h2y2(bdy)

　　2

　　h

　　＝by32bh

　　3?h＝3

　　212

　　b Iy＝?22

　　AZdA＝??bZ2(hdZ)

　　2

　　b

　　＝hZ32

　　3?b＝hb3

　　12

　　②三角形 求其I

　　Z??

　　图I-6 解：Dyy

　　D＝h?

　　h D＝h?y

　　yh?D

　　dA＝Dy?dy Iz??Ay2dA??hy2h?y0h?D?dy =Dh3

　　12

　　③圆形（扇形、1／4圆、1／2圆、全圆）

　　（1）扇形 求其IZ??

　　-6-

　　材料力学 附录I

　　图I-7

　　解：I2

　　Z??AydA

　　dA??d ?d?

　　y???sin

　　Iz??A(?sin )2???d ?d? =R4

　　8(a?sin?cos?) （A）

　　（2）1／4圆 I

　　Z??

　　图I-8

　　-7-