概率论统计自测题及讲评

高自考-概率论统计自测题及讲评

讲评自测卷1-1（随机事件与概率）

一、单项选择题（每小题2分）

￣￣ 1．A,B为两事件，则(A∪B) = ( )

A、AB B、A¯B¯ C、AB¯ D、A¯∪B¯

【讲评】考点：事件运算的几个公式：对偶律 A￣￣∪B =￣A∩￣B A￣￣∩B =￣A∪￣B

本题：利用对偶律得到 A￣￣∪B =￣A∩￣B，即A￣￣∪B = A¯B¯

选：B 。

2．袋中有二个白球一个红球，甲从袋中任取一球，放回后，乙再从袋中任取一球，则甲、 乙两人取得的球同颜色的概率为 (

A、1/9 B、2/9 C、4/9 D、5/9

【讲评】考点：古典概型计算公式：P(A)=A包含样本总个数|A|

样本点总数 =|Ω|，

事件的独立性，及计数的乘法原理与加法原理。

本题：设事件A＝{甲取白球}，事件B＝{乙取白球}，

则事件A¯＝{甲取红球}，事件B¯＝{乙取红球}，

所求的甲、乙两人取得的球同颜色的概率为

P(AB)+P(A¯B¯)=P(A)P(B)+P(A¯)P(B¯)= (2/3)(2/3)+(1/3)(1/3)= 5/9

选：D 。

3．一个小组有六个学生，则这六个学生的生日都不相同的概率为（设一年为365天） ( )

1365 B、1C6A6A、CA365 C(365) D(365)

【讲评】考点：古典概型计算公式：P(A)=A包含样本总个数样本点总数 =|A|

|Ω|，

事件的独立性，及计数的乘法原理与加法原理。

本题：每个学生的生日数有365种，六个学生的生日数共有(365)6种，

即样本空间的点数为 |Ω|=(365)6，

所求的事件A为六个学生的生日都不相同，则的样本点数为|A|= A3656

则这六个学生的生日都不相同的概率为P(A)= |A|

|Ω|=A6(365) 。

选：D 。

4．A,B为两事件，若A ? B，P(B)>0，则P(A|B)与P(A) 比较应满足 (

A、P(A|B) ≤ P(A) B、P(A|B) = P(A)

C、P(A|B) ≥ P(A) D、无确定的大小关系

【讲评】考点：条件概率公式与乘法公式：P(A|B)=P(AB)P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B)

本题：因为A?B，所以P(AB)=P(A)。

于是P(A)=P(AB) = P(B)P(A|B)，由于P(B)≤1，所以P(A|B) ≥ P(A)。

选：C 。

5．若A、B为两事件，A?B，P(A)>0，P(B)>0，则 (

A、P(A∪B)=P(A)+P(B) B、P(AB)=P(A)P(B)

C、P(B|A)=1 D、P(A-B)=P(A)-P(B)

【讲评】考点：事件的加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

事件的减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB);

条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B)

) ) ) Aans -1

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乘法公式： P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B)

P(BA)1 本题：因为A?B，所以P(AB)=P(A) ? P(B|A)= =

选：C 。

6．设A, B为二事件互不相容，0<p(A)=p<1，0<P(B)=q<1，则推不出结论 ( )

A、P(A|B)=0 B、P(A¯ B¯ )=0 C、P(AB¯ )=p D、P(A¯∪B¯)=1

【讲评】考点：事件A与B互不相容 ? AB=?

事件的减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB);

P(AB)本题：因为A与B互不相容 ? AB=? ? P(AB)=0 ? P(A|B)=P(B)P(AB¯ )=P(A)- P(AB)= p-0=p

P(A¯∪B¯)=P(A¯ B¯)=P(￣?)=P(Ω)=1

不能得到P(A¯ B¯ )=0 。

选：B 。

7．某工人生产了三个零件，以Ai表示“他生产的第i个零件是合格品”(i=1,2,3)，以下的事

件表示式错误的是 ( )

A、A1A2A3表示“没有一个零件是废品”

¯1∪A¯2∪A¯3表示“至少有一个零件是废品” B、A

¯1A2A3∪A1A¯2A3∪A1A2A¯3表示“仅有一个零件是废品” C、A

¯1A¯2A3∪A¯1A2A¯3∪A1A¯2A¯3表示“至少有两个零件是废品” D、A

【讲评】考点：事件运算的语言表达。

本题：事件A1A2A3表示第1,2,3个零件都是合格品，即“没有一个零件是废品”

事件A¯1∪A¯2∪A¯3表示第1个零件是废品或第2个零件是废品或第3个零件是废品，

即“至少有一个零件是废品”

事件A¯1A2A3∪A1A¯2A3∪A1A2A¯3表示“仅有一个零件是废品”

事件A¯1A¯2A3∪A¯1A2A¯3∪A1A¯2A¯3表示“恰有两个零件是废品”

选：D 。

8．设样本空间 Ω={x: 0≤x<4}，事件A={x: 1<x≤3}，B={x: 2≤x<4}，则下列各表示式中错误的

式子是 ( ) ￣￣0≤x≤1} B、A¯ B¯ ={x: 0≤x<2或3<x<4} A、A∪B ={x:

C、A¯ B ={x: 3<x<4} D、AB¯ ={x: 1<x<2}

【讲评】考点：事件与对立事件的运算。

本题：Ω={x: 0≤x<4}，A={x: 1<x≤3}，B={x: 2≤x<4}，? A?B={x: 1<x<4}

¯={0≤x<2} ¯={0≤x≤1} ?{3<x<4} , B? A

¯B￣￣¯ = {x: 0≤x≤1} 所以A∪B = A

A¯ B ={x: 3<x<4}

AB¯ ={x: 1<x<2}

选：B 。

9．设A,B为两个随机事件，P(B)>0, P(A|B)=1, 则必有

A、P(A∪B)=P(A) B、A?B C、P(A)=P(B) D、P(AB)=P(A)

P(AB)【讲评】考点：条件概率公式与乘法公式：P(A|B)=

事件的加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(AB)本题：因为1= P(A|B)=P(B) ? P(AB)=P(B)

所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)。

选：A 。

10．某商店出售的灯泡中，甲厂的产品占70%，乙厂的产品占30%，甲厂产品的合格率为 Aans -2( )

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95%，乙厂产品的合格率为90%，则某顾客买一灯泡是合格品的概率为 ( )

A、.0.935 B、0.905 C、0.875 D、0.825

n

【讲评】考点：全概率公式：P(B)= ∑ P(B|Ai)P(Ai) 其中A1,A2,…,An构成Ω的一个分斥。

i=1

本题：设事件A1＝{甲厂的产品}，事件A2＝{乙厂的产品}，事件B＝{产品为合格品}， 已知 P(A1)=0.7 , P(A2)=0.3 , P(B|A1)=0.95, P(B|A2)=0.90

所求的为P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)

= 0.7×0.95 + 0.3×0.9 = 0.935

选：A 。

二、填空题（每小题3分）

11. 有55个由两个不同的英语字母组成的单字，那么，从26个英语字母中任取两个不同的

字母来排列，能排成上述单字中某一个的概率为 。

[解]：样本空间的点数|Ω|=A226=26×25=1650， 所求事件的点数|A|=55 。

则所求的概率为P(A)= 55/1650= 11/130

填：11/130。

12. 已知事件A与B相互独立，P(A¯)=0.5, P(B¯)=0.6, 则P(A∪。

[解]：P(A¯)=0.5 P(B¯)=0.6 ? P(A)=0.5 , P(B)=0.4

因为事件A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2

则P(A∪B)=P(A)+P(B) – P(AB)

= 0.5+0.4-0.2 = 0.7

填：0.7。

13. 甲、乙、丙独立地译一密码，他们每人译出此密码地概率都是0.25，则密码被译出

的概率为 。

[解]：设事件A={甲译出密码}，B={乙译出密码}，C={丙译出密码}，

设事件D={密码被译出}。D=A?B?C

注意A,B,C是互相独立的事件，且P(A)=P(B)=P(C)=0.25。

则所求的概率为P(D)= P(A?B?C)=1-P(A¯B¯C¯)=1- P(A¯)P(B¯)P(C¯)

= 1 – 0.753 = 1 – 27/64 = 37/64 =0.578125 .

填：37/64。

14. 甲、乙、丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别为0.5, 0.6, 0.7，则目标

被击中的概率为 。

[解]：设事件A={甲射中目标}，B={乙射中目标}，C={丙射中目标}，

设事件D={目标被击中}。D=A?B?C

注意A,B,C是互相独立的事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(C)=0.7。

则所求的概率为P(D)= P(A?B?C)=1-P(A¯B¯C¯)=1- P(A¯)P(B¯)P(C¯)

= 1 – 0.5×0.4×0.3 = 1- 0.06 =0.94

填：0.94。

15. 袋中有5个球，其中4个红球，1个白球，现每次取一个球，无放回地抽取两次，则第二

次取到红球的概率是 。

[解]：根据抽签公平性原理，第二次取到红球的概率与第一次取到红球的概率是一样的。 而第一次取到红球的概率＝4/5 。

填：4/5。

16. 从0，1，2，3，4五个数中任意取三个数，则这三个数中不含0的概率为___________。

[解]：样本空间的点数|Ω|=C35=5×4×3/3! = 10， 所求事件的点数|A|= C34= 4 。

则所求的概率为P(A)= 4/10 =2/5

填：2/5 。

Aans -3

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17. .一批产品，由甲厂生产的占1/3，其次品率为5%，由乙厂生产的占2/3，其次品率为10%，

从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为___________。

[解]：设事件A1＝{甲厂的产品}，事件A2＝{乙厂的产品}，事件B＝{产品为次品}， 已知 P(A1)=1/3 , P(A2)=2/3 , P(B|A1)=0.05, P(B|A2)=0.10

所求的为P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)

= (1/3)×0.05 + (2/3)×0.10 = 0.25/3 = 1/12 。

填：1/12 。

18．20件产品中，有2件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一件产品，则第二次取到

的是正品的概率为____________.

[解]：根据抽签公平性原理，第二次取到正品的概率与第一次取到正品的概率是一样的。 而第一次取到正品的概率＝18/20 = 9/10 。

填：9/10 。

19．为了解两种报纸在大学生中的影响，经调查，某高校学生中订阅甲报的有30%，订阅乙

报的有25%，同时订阅两种报纸的有10%，则只订一种报纸的有 。

[解]：设事件A＝{学生订阅甲报}，事件B＝{学生订阅乙报}，

已知 P(A)=0.30 , P(B)=0.25 , P(AB)=0.10,

计算：P(A-B)=P(A)-P(AB)= 0.20 , P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.15。

则只订一种报纸的概率为：P(A-B)+P(B-A)=0.2+0.15 = 0.35 .

填：0.35 。

20．设A，B为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=______________．

[解]：由P(A)=0.8， P(B|A)=0.25， ? P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8×0.25=0.2，

所以 P(A|B)=P(AB)= 0.2/0.4 = 0.5

填：0.5 。

三、计算题（每小题8分）

21. 从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，

求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。

[解]：(1)样本空间的点数为|Ω|=C39 = 9×8×7/3! = 84 ,

三数之和为10的事件为：1+2+7, 1+3+6, 1+4+5, 2+3+5,

所以三数之和为10的概率p1＝ 4/84 = 1/21 ；

(2) 样本空间的点数为|Ω|=C39 = 9×8×7/3! = 84 ,

三数之积为21的倍数必须有一个7，另一个是3的倍数。

分类枚举：7×3×a (a有7种取法)；

7×6×a (a有6种取法)；

7×9×a (a有5种取法)；

所以三数之积为21的倍数的事件共有7+6+5=18种，

那么三数之积为21的倍数的概率p2＝18/84 = 3/14 。 ??

22. 设P(A)=0.6，P(B)=0.5，A，B相互独立，试求P(A∪B)，P(A¯ |A∪B)

[解]：因为A, B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.5=0.3。

则P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB) = 0.6+0.5-0.3 = 0.8 。

P(A¯|A?B)= P(A¯(A?B))

P(A?B) P(A¯B)P(B)-P(AB)0.2 = 0.25 。 ??

23. 设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个，最多为2个的概率。

[解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以|Ω|=43=64。

(1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，

所以|A1|= C343！=24；则P(A1)=24/64 =3/8.

Aans -4

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12(2) 当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(C4C3)，

11211另有一个杯子恰有1个球(C13C1)，所以|A2|= C4C3C3C1=36；

则P(A2)=36/64 =9/16 ??

24. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，假设男人女人各占一半，现随机挑选一人。

（1）此人恰是色盲患者的概率多大？

（2）若随机挑选一人，此人是色盲患者，问他是男人的概率多大？

[解]：设事件A1＝{挑到男人}，事件A2＝{挑到女人}，事件B＝{挑到的人为色盲}，

, P(A2)=1/2 , P(B|A1)=0.05, P(B|A2)=0.0025 已知 P(A1)=1/2

(1) 所求的为P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)

= 0.5×0.05+0.5×0.0025 = 0.02625 。

P(AB)P(A)P(B|A)(2) 所求的为P(A1|B)=P(B) = 0.025/0.0265 = 0.97375 . ?? P(B)

25. 加工某一零件共需经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%，3%，

5%，3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

[解]：设事件Aj＝{第j道工序加工为次品}，

已知：P(A1)=0.02, P(A2)=0.03, P(A3)=0.05, P(A4)=0.03,

¯1A¯2A¯3A¯4) 所求的为P(A1?A2?A3?A4)= 1- P(￣￣￣￣￣￣A1?A2?A3?A4) = 1 – P(A

¯1) P(A¯2) P(A¯3) P(A¯4) = 1 – P(A

= 1 – 0.98×0.97×0.95×0.97 = 1 – 0.8759779 = 0.1240 ??

四、综合应用题（每小题10分）

26. 某物品成箱出售，每箱20件，假设各箱中含0、1件次品的概率分别为0.8和0.2，一顾客

在购买时，他可以开箱，从箱中任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱 物品，否则退货。

试求：（1）顾客买下该箱的概率 α ；

（2）顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率 β 。

[解]:设事件A0={箱中0件次品}, A1={箱中1件次品}，事件B={买下该箱}。

由已知P(A0)=0.8, P(A1)=0.2,

P(B|A0)=1, P(B|A1)=19/20 × 18/19 × 17/18=17/20,

(1) α=P(B)= P(A0)P(B|A0)+ P(A1)P(B|A1)=0.8×1+0.2×7/20=0.97 ;

0.8247 ?? (2) β=P(A0|B)= P(A0B)/P(B)= P(A0)P(B|A0)/P(B)=0.8/0.97=

讲评自测卷2-1（随机变量与概率分布）

一、单项选择题（每小题2分）

? 2x x∈[0、A]1．设随机变量ξ的密度函数p(x)= ? , 则常数 =A ( ) ? 0 其他

A、1/4 B、1/2 C、1 D、2

【讲评】考点：连续型随机变量的概率密度函数必须满足条件：

(1) p(x)≥0, -∞<x<+∞ (2) ∫ -∞p(x)dx=F(+∞)=1

本题：利用概率密度函数性质有 1=∫ -∞p(x)dx=∫02xdx= x|0=A2 2+∞+∞AA

? A=1

选：C 。

C2．设随机变量ξ的分布列为P{ξ2，k=1,2,…，则常数C=

∞ ( ) A、1/4 B、1/2 C、1 D、2 【讲评】考点：离散型随机变量的分布列必须满足条件：∑ P{ξ=k}=1 。 k=1

Aans -5