一道竞赛题的三角证法_施刚良

48 福建中学数学 2013年第12期

解法4 构造向量x=(a，b，c)，y=(1，，11)， x?y

=a+b+c=a2+b2+c2

≤x?y=， ∴a+b+c≤3，

∴a+b+c=a2+b2+c2≤3，

2

2

2

a+b+c的最大值是

解 不妨设a≥b≥c>0，

由契比雪夫不等式得9(a+b+c)=9(a3+b3+c3) ≥3(a+b+c)(a2+b2+c2)

≥(a+b+c)3，

∴a+b+c≤3，当且仅当a=b=c=1时取等号． ∴a+b+c的最大值是3．

当且仅当a=b=c=1时取等号． ∴a+b+c的最大值是3．

解法5 构造二次函数f(x)=(x?a)2+(x?b)2+

(x?c)2=3x2?2(a+b+c)x+(a2+b2+c2)≥0，

推广3 正数a，b，c满足a+b+c=an+bn+cn，则a+b+c的最大值是

解 不妨设a≥b≥c>0，由契比雪夫不等式得 3n?1(a+b+c)=3n?1(a3+b3+c3)

≥3n?2(a+b+c)(a2+b2+c2)

≥??≥(a+b+c)n，

∴a+b+c≤3，当且仅当a=b=c=1时取等号．

∴Δ=4(a+b+c)2?12(a2+b2+c2)≤0，

即(a+b+c)≤3(a2+b2+c2)，

2

1

∴a+b+c=a2+b2+c2≥(a+b+c)2，

3

∴a+b+c≤3，当且仅当a=b=c=1时取等号． ∴a+b+c的最大值是3．

∴a+b+c的最大值是3．

最大值总是在元素取正数时得到，因此命题可引申、推广为：

2 引申、推广 推广1 正数x1，x2，??，xn满足x1+x2+??+xn=

22

x12+x2+??+xn，则x1+x2+??+xn的最大值是

推广4 正数x1，x2，??，xn，满足x1+x2+??+xn=

nn

x1n+x2+??+xn，则x1+x2+??+xn的最大值是

解 不妨设x1≥x2≥??≥xn>0， 由契比雪夫不等式得nn?1(x1+x2+??+xn)

nn

=nn?1(x1n+x2+??+xn)

n?1n?1≥nn?2(x1+x2+??+xn)(x1n?1+x2+??+xn)

解 由柯西不等式得

22

n(x1+x2+??+xn)=n(x12+x2+??+xn) ≥(x1+x2+??+xn)2，

∴x1+x2+??+xn≤n，

≥??≥(x1+x2+??+xn)，

∴x1+x2+??+xn≤n，

n

当且仅当x1=x2=??=xn=1时取等号．

∴x1+x2+??+xn的最大值是n．

当且仅当x1=x2=??=xn=1时取等号．

∴x1+x2+??+xn的最大值是n．

推广2 正数a，b，c满足a+b+c=a3+b3+c3，则

一道竞赛题的三角证法

施刚良 浙江省德清县第三中学（313201）

者发现可以利用三角替换来改变已知条件，再利用2010年全国高中数学联赛广东省预赛题解答题

b，c满足a+b+c=1，求证：求导法这种“通法”来证明此预赛题．下面给出笔者的第3题为：设非负实数a，

证明过程： 1

9abc≤ab+bc+ca≤(1+9abc)．

41

先证 ab+bc+ca≤(1+9abc)．

文[1]、[2]、[3]利用均值不等式和Schur不等式4

2

事实上，令a=sinα，b=cos2αcos2β， 对上述竞赛题作了证明，其证明方法可谓是巧妙和简洁，但技巧性较高．笔者就想能否让证明的思路

来得更加自然一点？通过探究预赛试题的条件，笔

c=cos2αsin2β．

2013年第12期 福建中学数学 49

1

(1+9abc) 4

?cos2αsin2α+cos4αcos2βsin2β

于是ab+bc+ca≤

下面再证：9abc≤ab+bc+ca．

事实上，令a=sin2α，b=cos2αcos2β，

c=cos2αsin2β．

19

+cos4αsin2αcos2βsin2β 44

?9?

?cos2αsin2α+?1?sin2α?cos4αcos2βsin2β

?4?

1≤． 4

4

若sin2α≥，则上述最后一个不等式显然成立；

941

若sin2α<，且cos2βsin2β≤，

94

?9?

故要证cos2αsin2α+?1?sin2α?cos4αcos2βsin2β

?4?

1≤． 4

1?91?

只需证：cos2αsin2α+?1?sin2α?cos4α≤

4?44?1?95?1

?cos2α?cos4α+?cos2α??cos4α≤

4?44?4

92141?cos6α?cosα+cos2α?≤0． 16164下面令t=cos2α，

9211?5?f(t)=t3?t2+t??<t≤1?，

16164?9?

(3t?2)(9t?8)2721

． 则f′(t)=t2?t+1=

16816?2?

∵f??=f(1)=0，

?3?

5

再由f(t)在<t≤1上的单调性知f(t)≤0，

9

2

等号当且仅当t=1或t=时成立．

3

1

综上所述，当a=0，b=c或a=，b=c时，

3

1

不等式ab+bc+ca≤(1+9abc)等号取到．

4

≤

于是9abc≤ab+bc+ca

?9cos4αsin2αcos2βsin2β ≤cos2α(sin2α+cos2αcos2βsin2β)．

若cos2α=0，则结论显然成立； 若cos2α≠0，则9abc≤ab+bc+ca ?9cos2αsin2αcos2βsin2β ≤sin2α+cos2αcos2βsin2β

?(9sin2α?1)cos2αcos2βsin2β≤sin2α．

1

，上述最后一个不等式显然成立； 911

当sin2α>，且cos2βsin2β≤，

94

当sin2α≤

故要证：(9sin2α?1)cos2αcos2βsin2β≤sin2α，只要证：

1

9sin2α?1)cos2α≤sin2α (42

?4sinα?9cos2αsin2α+cos2α≥0 ?9sin4α?6sin2α+1≥0

?(3sin2α?1)≥0，

1

等号当且仅当sin2α=时取到．

3

1

综上所述，当a=1，b=c或a=，b=c时，

3

不等式9abc≤ab+bc+ca等号取到．

?a=1，?a=0，?a=0，???

由对称性可知当?b=0，或?b=1，或?b=0，或

?c=0，?c=0，?c=1，???

1?

a=，?3?

1?

时，等号取到． ?b=，3?

1?c=，?3?

由对称性可知当

11???a=，a=，1???a=0，a=，?32???2?

?111???

或?b=0，或?b=，或?b=，时，等号?b=，

322????1

11??c=，?c=0，?c=，c=，2????2?3??

参考文献

[1]李剑峰．一道联赛不等式的简证与溯源．中学数学，2011（3）：55 [2]马占山，江国柱．一道预赛试题的另证．数学通讯，2011（3）：61-62 [3]苏立志．一道预赛不等式的简证．数学通讯，2011（30）：62

取到．