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一道竞赛题的三角证法_施刚良

上传者:何睿
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上传时间:2015-04-21
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一道竞赛题的三角证法_施刚良

48 福建中学数学 2013年第12期

解法4 构造向量x=(a,b,c),y=(1,,11), x?y

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=a+b+c=a2+b2+c2

≤x?y=, ∴a+b+c≤3,

∴a+b+c=a2+b2+c2≤3,

2

2

2

a+b+c的最大值是

解 不妨设a≥b≥c>0,

由契比雪夫不等式得9(a+b+c)=9(a3+b3+c3) ≥3(a+b+c)(a2+b2+c2)

≥(a+b+c)3,

∴a+b+c≤3,当且仅当a=b=c=1时取等号. ∴a+b+c的最大值是3.

当且仅当a=b=c=1时取等号. ∴a+b+c的最大值是3.

解法5 构造二次函数f(x)=(x?a)2+(x?b)2+

(x?c)2=3x2?2(a+b+c)x+(a2+b2+c2)≥0,

推广3 正数a,b,c满足a+b+c=an+bn+cn,则a+b+c的最大值是

解 不妨设a≥b≥c>0,由契比雪夫不等式得 3n?1(a+b+c)=3n?1(a3+b3+c3)

≥3n?2(a+b+c)(a2+b2+c2)

≥??≥(a+b+c)n,

∴a+b+c≤3,当且仅当a=b=c=1时取等号.

∴Δ=4(a+b+c)2?12(a2+b2+c2)≤0,

即(a+b+c)≤3(a2+b2+c2),

2

1

∴a+b+c=a2+b2+c2≥(a+b+c)2,

3

∴a+b+c≤3,当且仅当a=b=c=1时取等号. ∴a+b+c的最大值是3.

∴a+b+c的最大值是3.

最大值总是在元素取正数时得到,因此命题可引申、推广为:

2 引申、推广 推广1 正数x1,x2,??,xn满足x1+x2+??+xn=

22

x12+x2+??+xn,则x1+x2+??+xn的最大值是

推广4 正数x1,x2,??,xn,满足x1+x2+??+xn=

nn

x1n+x2+??+xn,则x1+x2+??+xn的最大值是

解 不妨设x1≥x2≥??≥xn>0, 由契比雪夫不等式得nn?1(x1+x2+??+xn)

nn

=nn?1(x1n+x2+??+xn)

n?1n?1≥nn?2(x1+x2+??+xn)(x1n?1+x2+??+xn)

解 由柯西不等式得

22

n(x1+x2+??+xn)=n(x12+x2+??+xn) ≥(x1+x2+??+xn)2,

∴x1+x2+??+xn≤n,

≥??≥(x1+x2+??+xn),

∴x1+x2+??+xn≤n,

n

当且仅当x1=x2=??=xn=1时取等号.

∴x1+x2+??+xn的最大值是n.

当且仅当x1=x2=??=xn=1时取等号.

∴x1+x2+??+xn的最大值是n.

推广2 正数a,b,c满足a+b+c=a3+b3+c3,则

一道竞赛题的三角证法

施刚良 浙江省德清县第三中学(313201)

者发现可以利用三角替换来改变已知条件,再利用2010年全国高中数学联赛广东省预赛题解答题

b,c满足a+b+c=1,求证:求导法这种“通法”来证明此预赛题.下面给出笔者的第3题为:设非负实数a,

证明过程: 1

9abc≤ab+bc+ca≤(1+9abc).

41

先证 ab+bc+ca≤(1+9abc).

文[1]、[2]、[3]利用均值不等式和Schur不等式4

2

事实上,令a=sinα,b=cos2αcos2β, 对上述竞赛题作了证明,其证明方法可谓是巧妙和简洁,但技巧性较高.笔者就想能否让证明的思路

来得更加自然一点?通过探究预赛试题的条件,笔

c=cos2αsin2β.

2013年第12期 福建中学数学 49

1

(1+9abc) 4

?cos2αsin2α+cos4αcos2βsin2β

于是ab+bc+ca≤

下面再证:9abc≤ab+bc+ca.

事实上,令a=sin2α,b=cos2αcos2β,

c=cos2αsin2β.

19

+cos4αsin2αcos2βsin2β 44

?9?

?cos2αsin2α+?1?sin2α?cos4αcos2βsin2β

?4?

1≤. 4

4

若sin2α≥,则上述最后一个不等式显然成立;

941

若sin2α<,且cos2βsin2β≤,

94

?9?

故要证cos2αsin2α+?1?sin2α?cos4αcos2βsin2β

?4?

1≤. 4

1?91?

只需证:cos2αsin2α+?1?sin2α?cos4α≤

4?44?1?95?1

?cos2α?cos4α+?cos2α??cos4α≤

4?44?4

92141?cos6α?cosα+cos2α?≤0. 16164下面令t=cos2α,

9211?5?f(t)=t3?t2+t??<t≤1?,

16164?9?

(3t?2)(9t?8)2721

. 则f′(t)=t2?t+1=

16816?2?

∵f??=f(1)=0,

?3?

5

再由f(t)在<t≤1上的单调性知f(t)≤0,

9

2

等号当且仅当t=1或t=时成立.

3

1

综上所述,当a=0,b=c或a=,b=c时,

3

1

不等式ab+bc+ca≤(1+9abc)等号取到.

4

于是9abc≤ab+bc+ca

?9cos4αsin2αcos2βsin2β ≤cos2α(sin2α+cos2αcos2βsin2β).

若cos2α=0,则结论显然成立; 若cos2α≠0,则9abc≤ab+bc+ca ?9cos2αsin2αcos2βsin2β ≤sin2α+cos2αcos2βsin2β

?(9sin2α?1)cos2αcos2βsin2β≤sin2α.

1

,上述最后一个不等式显然成立; 911

当sin2α>,且cos2βsin2β≤,

94

当sin2α≤

故要证:(9sin2α?1)cos2αcos2βsin2β≤sin2α,只要证:

1

9sin2α?1)cos2α≤sin2α (42

?4sinα?9cos2αsin2α+cos2α≥0 ?9sin4α?6sin2α+1≥0

?(3sin2α?1)≥0,

1

等号当且仅当sin2α=时取到.

3

1

综上所述,当a=1,b=c或a=,b=c时,

3

不等式9abc≤ab+bc+ca等号取到.

?a=1,?a=0,?a=0,???

由对称性可知当?b=0,或?b=1,或?b=0,或

?c=0,?c=0,?c=1,???

1?

a=,?3?

1?

时,等号取到. ?b=,3?

1?c=,?3?

由对称性可知当

11???a=,a=,1???a=0,a=,?32???2?

?111???

或?b=0,或?b=,或?b=,时,等号?b=,

322????1

11??c=,?c=0,?c=,c=,2????2?3??

参考文献

[1]李剑峰.一道联赛不等式的简证与溯源.中学数学,2011(3):55 [2]马占山,江国柱.一道预赛试题的另证.数学通讯,2011(3):61-62 [3]苏立志.一道预赛不等式的简证.数学通讯,2011(30):62

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