高数题

学年第二学期期末考试试卷

单选题（共15分，每小题3分）

1．设函数f(x,y)在P(x0,y0)的两个偏导fx(x0,y0)，fy(x0,y0) 都存在，则 ( )

A．f(x,y)在P连续 B．f(x,y)在P可微

f(x,y)存在 C． limf(x,y0)及 limf(x0,y)都存在 D．lim

x x0

y y0

(x,y) (x0,y0)

2．若z ylnx，则dz等于（ ）．

ylnxlnyylnxlnyylnxlny

B. A.

xxy

ylnxlnyylnxlnyylnxlnxlnx

C.ylnydx dy D.dx dy

xxy

3．设 是圆柱面x2 y2 2x及平面z 0,z 1所围成的区域，则

． f(x,y,z)dxdydz ( ）

A.

C. d

d

2cos

dr

1

f(rcos ,rsin ,z)dz B.

10

d

2cos

02cosx

rdr f(rcos ,rsin ,z)dz

1

2cos

rdr f(rcos ,rsin ,z)dz D. d

n

rdr f(rcos ,rsin ,z)dz

1

4． 4．若

a(x 1)

nn 1

在x 1处收敛，则此级数在x 2处（ ）．

A． 条件收敛 B． 绝对收敛 C． 发散 D． 敛散性不能确定

x y z 2

5．曲线 在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. 22

z x y

A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）

二、填空题（共15分，每小题3分）

1．设x 2y 2xyz 0，则zx'(1,1) .

2．交 换I

10

e

1

dx

ee

lnx

f(x,y)dy的积分次序后，

I ___I

3

．

dy yf(x,y)dx__________________．

设

u 2xy z2

，则

u

在点

M(2, 1,1)

处的梯度为

2i 4j 2k 4.

已知

xn

e n 0n!

x

，则

xe x

( 1)nxn 1

n!n 0

3322

5. 函数z x y 3x 3y的极小值点是

三、解答题（共54分，每小题6--7分）

y z z

1.（本小题满分6分）设z yarctan, 求,.

x x y

2.（本小题满分6分）求椭球面2x2 3y2 z2 9的平行于平面2x 3y 2z 1 0的切平面方程，并求切点处的法线方程.

3. （本小题满分7分）求函数z x2 y2在点(1,2)处沿向量l 4. （本小题满分7分）将f(x)

1i j方向的方向导数。 21

展开成x 3的幂级数，并求收敛域。 x

5．（本小题满分7分）求由方程2x2 2y2 z2 8yz z 8 0所确定的隐函数z z(x,y)的极值。

6．（本小题满分7分）计算二重积分

(x

D

2

y2)d ,D由曲线x y2,y 1,y 1及x 2围成.

L

7.（本小题满分7分）利用格林公式计算8.（本小题满分7分）计算卦限内的区域.

xy2dy x2ydx，其中L是圆周x2 y2 a2（按逆时针方向）.

22

，其中是由柱面x y 1及平面z 1,x 0,y 0所围成且在第一xydxdydz

四、综合题（共16分，每小题8分）

1．（本小题满分8分）设级数

u, v

nn 1

n 1

n

都收敛，证明级数

2

(u

n 1

n

vn)2收敛。

f

2x， x

2．（本小题满分8分）设函数f(x,y)在R内具有一阶连续偏导数，且证明曲线积分

L

2xydx f(x,y)dy与路径无关．若对任意的t恒有

(1,t) (0,0)

(t,1)

(0,0)

2xydx f(x,y)dy

2xydx f(x,y)dy，求f(x,y)的表达式．

参考答案及评分标准

一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1.-1 2. I

dy

1e

ey

( 1)nxn 1

5. (2,2) f(x,y)dx 3. 2i 4j 2k 4 n!n 0

三、解答题（共54分，每小题6--7分）

zy2

1．解：; (3分) 2

2

xx yyxy z

=arctan+2 ( 6分).

xx y2 y

2x03y0z0

，切点为：(1, 1,2)或2 32

x 1y 1z 2

( 1,1, 2) (3分)，切平面：2x 3y 2z 9or 9 ( 4分)， 法线方程分别为：或者2 32

x 1y 1z 2

( 6分) 2 32

f(1,2)

1 ( 7分) 3. 解： f(1,2) (2,4) ( 3分),

l

2. 解：记切点(x0,y0,z0) 则切平面的法向量为n 2(2x0,3y0,z0)满足：

111

= , ( 2分)

x 333 (x 3)1 ()3

11x 3n 11n1nn

( 1) ()= ( 1)n()n 1(x 3)n,其中因为 ( 1)x ，x ( 1,1),所以

x 33331 x3n 0n 0

1 ()n 0

3

x 3 1 1 ，即0 x 6.( 5分)

3

1 11n1当x 0时，级数为 发散；当x 6时，级数为 ( 1) 发散,故= ( 1)n()n 1(x 3)n，x (0,6)， x333n 0n 0n 0

4. 解：f(x) ( 7分)

4x z

x1 2z 8y 0

5. 解：由 , 得到x 0与y 2z 0, ( 2分)

z 4(y 2z) 0 y1 2z 8y

2

再代入2x2 2y2 z2 8yz z 8 0，得到7z z 8 0即z 1,

8

。 7

由此可知隐函数z z(x,y)的驻点为(0, 2)与(0,

16

)。 ( 4分) 7

16 2z4 2z4 2z

由2 ，，可知在驻点(0, 2)与(0,)有H 0。( 5分) 0，2

7 x1 2z 8y x y y1 2z 8y

2z4

0，所以(0, 2)为极小值点，极小值为z 1；( 6分) 在(0, 2)点，z 1，因此 2

x15

168168 2z4

0，所以(0,)为极大值点，极大值为z ， ( 7分) 在(0,)点，z ，因此 2

7777 x15

2 x 0 y2 x 0D2: 6. 解：记D1: ，则D D1 D2.（2分） 故

1 y 1 1 y 1

222222

(x y)d (x y)d (x y)d ( 4分) D

D1

D2

dy (x y)dx d r3dr

1

2

10

22

3

2

1

22

7. 解：L所围区域D：x y a

22

20

（7分） 34

,由格林公式，可得

L

xy2dy x2ydx=

2πaπ4 (xy2) ( x2y)222

d r rdr .(7分) ==(x y)dxdy( )dxdy 002 x yDD

0 z 1,

π

8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时， : 0 ,所以

2

0 r 1,

1

xydxdydz dzd 0 0rcos rsin rdr ( 4分)

1

π

20

=

π20

1cos2 r413

sin2 d 0rdr=( ) 2440

π

2

1

1

. (7分) 8

四、综合题（共16分，每小题8分）

1．证明：因为limun 0,limvn 0，（2分）

n

n

故存在N，当n N时，(un vn) un vn 2unvn 3un，因此2．证明：因为

222

(u

n 1

n

（8分） vn)2收敛。

f (2xy)

2x，且 2x，故曲线积分 2xydx f(x,y)dy与路径无关．（4分）

L x y

因此设f(x,y) x2 g(y)，从而

(t,1)

2xydx f(x,y)dy 0dx [t g(y)]dy t g(y)dy，（5分）

t 1

22

1

(0,0)

(1,t)

1 t (0,0)

2xydx f(x,y)dy 0dx [1 g(y)]dy t t

g(y)dy，（由此得t2

1

t 0

g(y)dy t 0

g(y)dy对任意t成立，于是g(t) 2t 1，即

f(x,y) x2 g(y) x2 2y 1．（8分）

6分）