分形理论：非线性科学哲学观和方法论综述

分形理论：非线性科学哲学观和方法论综述

诞生于20世纪70年代的分形理论是现代重要的非线性科学理论之一，其主要研究自然界和社会科学领域广泛存在的非规则而具有自相似特性的几何形态。本文对分形理论的产生和发展、分形理论与有效市场理论的区别做了简单介绍，对分形理论的研究现状做了系统归纳，并对分形理论应用于资本市场研究做了展望。

关键词：分形理论 线性科学 非线性科学 资本市场

引言

如何正确认识现实世界一直是哲学研究讨论的重要课题之一。早期的哲学思想具有静态、抽象等显著特征，比如认为整体由部分组成，人们可以通过认识部分来认识整体。其在哲学方法上表现为典型的机械论、还原论和形式逻辑。

随着人们对现实世界的认识逐渐深入，发现早期的哲学思想和方法论日益显示出局限性。仍以整体与部分这对古老的哲学范畴为例，线性叠加原理显然忽视了子系统间的相互作用。实际上，“随便堆放在一起的材料并不必然构成一所房子”（亚里士多德，1990）。可见，子系统之间的相互作用不可忽视，世界并非是线性叠加的。要深刻认识现实世界的非线性特征，有必要借助新的哲学思维和方法。分形理论的产生正好为现代哲学发展提供了强有力的武器。

分形理论（Fractal Theory）产生20世纪70年代，其与耗散结构（Dissipative Structures）、混沌理论（Chaos theory）一起被认为是该时期科学史上的三大重要发现。分形理论最初被应用于水文观测、海岸线勘测等自然科学领域，其后逐渐延伸到数理化、生物医学、地质与地理学、天文学、材料科学、计算机科学等诸多领域，近年来已渗入到经济学、金融学、绘画、电影等社会科学领域。美国著名科学家约翰·惠勒指出：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人”。

本文首先介绍了古代哲学中的还原论观点，指出线性科学的局限与不足；其次介绍了分形理论的产生和发展，并用实例来展示分形几何的魅力；然后详细介绍了分形理论在我国的发展现状；最后阐述了分形理论在资本市场研究方面的若干成果。

还原论与线性科学

（一）还原论的产生及意义

1951年，奎因在《经验论的两个教条》一文中，首次使用了还原论（Reductionism）一词。以科学哲学方法来定义，还原论是一种旨在将复杂性分解为更为简单的组成部分以研究其本质与规律的认识复杂性的方法。此后，牛顿进一步发展了还原论思想。牛顿力学拆整为零的做法，对整个古典科学起了示范作用，也使还原论成为近代科学占主导地位的方法论原则。

还原论在科学哲学史上具有重要地位。它以线性叠加原理为基础，将复杂的、整体的系统还原为简单的、部分的子系统来研究，通过分析部分的性质、规律来认识整体的性质、规律。不仅如此，还原论还直接影响了人们对物质可分性的理解，如古希腊的原子论、印度的“四因说”、中国的“五行说”。即使是结构主义的理论也能隐见还原论的影子。

（二）线性科学的产生和发展

1687年，牛顿《自然哲学之数学原理》一书的出版标志着近代科学的诞生，

也奠定了线性科学发展的基础。

线性科学研究的主要是线性的、可解析表达的、平衡态的、规则的、确定的、可逆的、可用逻辑分析的对象。在方法论上，往往把一些复杂系统分解为几个简单化的子系统，分门别类地去研究。从哲学思想上说，线性科学方法是一种典型的抓主要矛盾、忽略次要矛盾的问题处理方法。牛顿第二定律认为力是产生加速度的唯一原因，加速度是力作用的结果，因果关系一目了然。

线性科学理论和方法在几百年的历史中，一直左右着近现代科学的发展。直到20世纪中期，随着新的理论和技术手段的出现，人们对现实世界的认识和看法才发生了新的变化。

20世纪40年代后期，系统论、信息论和控制论先后产生；20世纪70年代，混沌理论、分形理论和耗散理论相继问世。当代科学逐渐从简单转向复杂，从线性转向非线性。科学的发展从此进入了一个新的时代。

分形理论的产生与发展

（一）分形理论的产生

美籍法国数学家B.B.Mandelbrot于1967年在美国《科学》杂志上发表了《英国的海岸线有多长》的著名论文，标志着分形学科正式诞生。1977年，Mandelbrot发表了《分形：形、机遇和维数》的专著，第一次系统地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法，将分形理论推上了一个新的发展阶段。1982年，Mandelbrot又出版了另一部专著《自然界的分形几何学》，分形理论至此初步成形。

Mandelbrot将分形定义为局部和整体按某种方式相似的集合，这是目前关于分形定义普遍被接受的说法。然而，该定义并不明确。一般认为，某集合F是分形集，一般要求具有以下性质：F具有精细的结构，即在任意小的尺度下，它总是有复杂的结构；F是不规整的，其整体与局部都无法用传统的欧氏几何来描述；F通常有自相似性，这种自相似可以是形状上或统计意义上的；一般地，F的某种定义之下的分形维数大于它的拓扑维数；在大多数情形下，F可能由迭代过程产生。

（二）分形理论特征及实例

分形理论研究的对象通常具有难以用欧式几何描述其形态的客体，具有标度不变性（对称性）（Invariant Scale）和自相似性（Self-Similarity）等显著特征，体现了自然的造化之神奇和艺术之美。

标度不变性指事物的局部与整体虽然不同，但经过拉伸、压缩等操作后，不仅相似而且可以重叠。标度不变性表明系统中的每一元素都反映或含有整个系统的性质和信息，从而可以通过认识部分来认识整体。

自相似性是分形理论的核心，指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。对于有规则分形，这种自相似性表现为无穷嵌套；对于无规则分形，这种自相似性表现为统计的自相似性，在无标度空间中表现出自相似性。雪花、晶体，以及人体的小肠，都具有高度的自相似性。以下是几个有规则的分形图形：

冯科克曲线（Van Koch’s Curve）是瑞典数学家赫尔奇·冯·科克在1904年创造的。具体生成的方法是：把等边三角形的每一条边三等份，去掉中间的三分之一，在被去掉线段处向外做出两边为此线段三分之一的尖角；重复这一过程以至无穷。其形状类似雪花，又名雪花曲线。冯科克曲线具有独特的数学性质：处处连续，但处处不可微；长度无限，面积为零（见图1）。

希尔宾斯基三角形（Sierpinski Pyramid）由正三角形不断去掉中间占四分之

一面积的正三角形得到。可以证明，希尔宾斯基三角形的面积也为零（见图2）。

康托尔集（Cantor Set）生成方法为：从单位区间[0，1]出发，三等分并去掉中段，得E1，将E1两个区间继续三等分并去中段得E2，以此类推，所得极限集合为Cantor集。其由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入。康托尔集的一个典型性质是点数无限，但长度为零（见图3）。

（三）分形理论产生的意义

分形理论的产生，对于人们正确认识和改造世界具有重要的方法论意义。在深刻理解整体与局部的辩证关系方面，分形理论与还原论的方法和实质并不相同，前者是对后者的有力补充和突破（李后强，1993；李后强、汪富泉，1992；王世进，2006）。

还原论认为，整体是由部分组成的，部分包含在整体之中；部分相加可以构成整体，整体大于部分。微积分中求不规则图形的面积就充分体现了这一思想。不过，还原论将部分转化为整体的过程是机械的、静态的，这是还原论的局限性。

分形理论认为，部分以与整体相似的方式存在于整体之中，部分可以反映整体。同时，分形理论提供了部分到整体的生成规律、形成方式。分形理论体系中的有限和无限关系是建立在数学理论基础上的，并非简单的哲学思辨。它融进了整体方法、非线性方法、非解析方法、概率论方法等，正确地理解了数学的可分割和物理的可分割、思维的可分割与物质可分割之间存在的辩证关系。

综上可知，在分析事物整体与局部的关系时，还原论是基于线性研究的，把复杂问题简单化。分形论为研究复杂问题提供了一种工具，在认识论上进步到非线性层次，从更深的层面揭示了整体与部分的关系，进一步深化了科学哲学中的普遍联系和世界统一性原理。

分形理论在我国的发展现状

经过40多年的发展，分形理论已成为非线性科学研究中的重要分支之一。 分形理论在国外的研究于20世纪末就有重大突破，并且已将理论成果付诸实践中。好莱坞影片《星球大战》中，就使用了分形技术。

我国的分形理论研究在最近20多年才开始。1989年4月，中科院国际材料物理中心为推动分形理论研究而特别举办了分形学习班。曾任该中心主任的龙期威教授关于“分形和固体断裂”的研究在当时处于国际先进行列，并完成了两本比较有影响力的专著：《金属中的分形与复杂性》（上海科学技术出版社，1999年）、《金属的力学性质：原子观点、分形和连续介质方法》（与英国N.Hmarch合著，英文）。

1989年7月，由四川大学、北京大学等高等院校组织召开了第一届“全国分形理论及应用学术讨论会”。其后，第二届和第三届会议分别于1991年11月在武汉华中理工大学、1993年10月在合肥中国科技大学召开。第四届会议于2011年底在东北大学召开。该研讨会为分形理论在我国的传播和发展做出了巨大贡献。

在科研支持方面，1991底，中国国家攀登计划（“八五”计划：1991-1995）首次启动了“非线性科学”研究项目。1993年，国家自然科学基金申请指南中，首次列出”分形理论及其应用”的研究内容，此后每年都资助若干有关项目的研究。

综合来看，分形理论在我国发展的特点是起步晚、发展快、理论与应用并举。大家自始就比较重视理论基础和实际应用相结合。重庆大学的孙隶华教授等研究了“分形理论在制造决策模型实验数据建模中的应用”；北京科技大学的吕志民等

研究了“分形维数及其在滚动轴承故障诊断中的应用”，将分形维数作为识别滚动轴承故障的特征量；上海交通大学的汪慰军研究的“关联维数在大型机组故障诊断中的应用”，提出了将分形理论用于故障诊断的技术路线及基本计算方法。

分形理论应用于资本市场研究综述

分形理论除应用于自然科学领域外，近年来也广泛应用于社会科学领域。实际上，在公司财务和资本市场研究方面，已有学者试图用分形理论重构市场基础，并在此基础上获得一些投资绩效测算和评估的新方法和新结论。

（一）分形市场理论形成与辨析

分形（fractal）一词源于拉丁语“fractus”，意为“碎化、分裂”等。Peters（1991；1994）首次将分形应用于资本市场，通过分析有效市场假说在理论和实践中的不足，突破了有效市场理论的独立、线性、正态、静态等假定，是分形理论在金融市场中的直接应用。

国内学者樊智等（2002）在系统回顾EMH的内涵并指出其存在不足的基础上，将分形理论引入到金融市场效率研究领域中，分析了分形时间序列的经济涵义并提出分形市场理论的意义。黄诒蓉等（2006）认为EMH无法解释资本市场具有的实际特性，指出分形市场假说框架下的分形结构特征更能有效地解释资本市场的实际特性，分形方法是认识资本市场的有效非线性工具。

（二）分形理论在资本市场的应用

分形理论在资本市场中的应用尚处于初级阶段，目前形成的研究成果并不系统。

国外学者Triki Mohamed Bilel&Selmi Nadhem（2009）以G7股票市场数据为样本，采用分形检验与修正R/S分析法研究发现，股票市场具有正的长记忆性；Siow-Hooi Tan， Lee-Lee Chong， Peik-Foong Yeap（2010）以1985年1月-2009年12月马来西亚股票牛熊市场数据，采用同样的方法进行分析，实证结果表明：在早期—尤其1997年金融危机之前，股票市场具有长记忆性，可以一定的概率对股票价格进行预测。国内学者宋加旺（2005）介绍了分形市场理论在我国资本市场的应用，运用R/S与修正R/S方法实证发现我国资本市场具有长记忆性的分形特征，并分析了其成因。胡彦梅等（2006）运用修正R/S方法分析检验我国沪深股市日收益序列的长记忆性，发现两市的日收益序列均无长记忆，但深圳成指日收益序列的记忆长度比上证综指日收益序列的记忆长度要长。李宇海（2009）运用R/S方法来研究我国证券市场分形特征，发现我国股市的趋势周期成分具有56个月左右的非周期性循环；季节成分中记忆性可覆盖约10个月；短期波动成分中记忆性可覆盖3.3个月。王鹏等（2009）把分形理论引入到我国债券市场中，实证结果显示我国交易所债券市场的价格变动是以分数布朗运动方式进行的，呈现出典型的特征指数2<α的稳定帕累托分布，说明分形特征广泛存在于我国交易所债券市场各时间标度下的收益中。

（三）分形市场理论的发展

在早期的分形理论产生后，也有很多学者对其进行了不断完善和发展，获得了一些新的成果。比如在多重分形理论研究方面，苑莹等（2010）从资本市场的多重分形结构、资本市场多重分形特性及多重分形在资本市场风险管理中的应用3个方面，重点分析了资本市场中多重分形理论的研究进展，指出了多重分形理论在该领域所面临的困难与不足，并展望了该研究的发展方向，具有较强的指导意义。

此外，许林等（2011）在分析及修正R/S分析法的基础上，首次把多重分形

R/S分析法引入到基金投资风格领域，通过计算6种风格资产指数在不同时间标度下的收益率序列Hurst指数与平均循环长度来挖掘风格漂移及轮换规律，为基金经理及投资者在不同的股市风格行情下构建适度风格漂移投资策略提供了决策参考与理论支持。

综上所述，人们对现实世界的认识和探索是个循序渐进、逐渐深入的过程。借助分形理论这一世界观和方法论工具，不仅有助于推动自然科学的发展，也有助于推动社会科学和人文科学的发展。

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