实验11(答案)陈酒出售的最佳时机问题2014.5.6

陈酒出售的最佳时机问题

华怡菁 33号 徐文洁 32号 刘雪飞 31号

一、问题分析与建立模型

酒厂新酿的好酒，如果现在出售，总收入R0=100万元，如果窖藏起来第n年出售，可得总收入为：R R0en

6（万元）。银行利率为r=0.05。

首先考虑两种简单处理方案：

第一种方案：现在出售这批好酒，可得本金100万元。由于银行利率为r＝0.05,按照复利计算公式，第n年连本带利资金积累为B(n) 100(1 0.05)n

第二种方案：如果窖藏起来，待第n年出售．原来的100万元到第n年时增值为

n

6R(n) 100e

利用这两个公式分别计算出16年内100万元增值的数目。可得两个数列：

{b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,b9,b10,b11,b12,b13,b14,b15,b16};

{r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8,r9,r10,r11,r12,r13,r14,r15,r16};

第一个数列在刚开始时递增速度较慢，后来递增速度较快；第二个数列在刚开始时递增速度较快，后来递增速度较慢。对比两个数列的变化，可大概得知陈酒出售的最佳时机。

作为决策者的选择：追求短期效益可简单采取第二种方案；追求长期效益应综合考虑两种方案的结合。

在第二种方案中，如果考虑第n年售出陈酒的总收入R（n）的现值，可以建立一个简单的数学模型，使问题更直观。设想现在将X（万元）存入银行，到第n年时增值为R（n）(万元)。根据复利公式, R(n) X(1 0.05)n,我们称X为R(n)的现值。故R(n)的现值计算公式为 X(n) R(n) (1 0.05)n

X(n)的最大值点即为陈酒出售的最佳期时机。这可以通过计算出1年到16年内各年的X（n）值比较而得到。

二、计算过程

第一种方案计算公式：B(n) 100(1 0.05)n

程序:

for n=1:16

b(n)=100*(1+0.05)^n;

end

b

结果如下：

b =

Columns 1 through 8

105.0000 110.2500 115.7625 121.5506 127.6282 134.0096 140.7100 147.7455

Columns 9 through 16

155.1328 162.8895 171.0339 179.5856 188.5649 197.9932 207.8928 218.2875

即：

第二种方案计算公式：

R(n) 100en

6

程序：

for n=1:16

r(n)=100*exp(sqrt(n)/6);

end

r

结果如下：

r =

Columns 1 through 6

118.1360 126.5797 133.4658 139.5612 145.1617 150.4181

Columns 7 through 12

155.4196 160.2243 164.8721 169.3922 173.8062 178.1312

Columns 13 through 16

182.3805 186.5650 190.6935 194.7734

即：

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简单比较，应该是第二种方案较好。两年后资金增值为126.58万元。12年后资金增值为178.131 万元。

第n年出售陈酒所得收入的现值计算公式：

X(n) 100e n(1 0.05)6

程序：

for n=1:16

x(n)=100*exp(sqrt(n)/6)/((1+0.05)^n);

end

x

结果如下：

x =

Columns 1 through 8

112.5105 114.8116 115.2928 114.8174 113.7380 112.2443 110.4538 108.4461

Columns 9 through 16

106.2780 103.9921 101.6209 99.1901 96.7203 94.2280 91.7268 89.2279

即：

陈酒出售后的现值

陈酒在第3年出售时现值最高。在8年后，出售陈酒可收入160.22万元；但是在3年后，售出陈酒所得资金为133.47万元，将其存入银行，再过5年后从银行取出。总收入按复利公式计算，在Matlab环境下键入指令：

133.47*(1+0.05)^5（回车）

得 170.3453

这说明，综合考虑两种方案：每3年售酒，每8年从银行取款可得170.35万元。显然优于单纯采用第二种方案。

用一元函数极值的方法分析如下：

假设银行利率按连续复利公式R(t) R0e0.05t（或R(t) X(t)e0.05t）计算。 酒厂将这批好酒窖藏到第t年，作为陈酒出售总收入为R(t) 100e。结合这两个计算公式，将t年后陈酒出售总收入的现值X视为时间t的函数。函数X(t)的表达式： X(t) 100e

求出X(t)的唯一驻点：

1 3（年） 2144 0.05

所以陈酒出售的最佳时期为第3年。

三、结果分析

如果单纯采用某一种方案处理陈酒，所得的收入并不是最好的（160.22万元）。引入现值的概念得出令人满意的结论170.35万元），这是在两种方案的简单比较中得不到的。最后由离散问题转化为连续问题，用一元函数极值的方法得出了与离散方法相一致的结果应该在第3年卖掉陈酒。如果银行利率下降是分两阶段进行，则应分阶段计算。 t 0.05t66 t0