利用导数处理与不等式有关的问题
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利用导数处理与不等式有关的问题
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利用导数处理与不等式有关的问题
利用导数处理与不等式有关的问题
摘 要:导数是研究函数性质的一种重要工具。在处理与不等
式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质。因此,很多时侯可
以利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题。下面具体
讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。 关键词:导数;
不等式;问题 一、利用导数证明不等式 1.利用导数得出函
数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大
于(或小于)0 时,则该函数在该区间上单调递增(或递减).因而
在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证
明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即
把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式:
由本例可知用函数单调性证明不等式时,如何选择自变量来构造函数
是比较重要的. 2.利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证
明不等式 导数的另一个作用是求函数的最值,因而在证明不等
式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数求出该函数的
最值;由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得该不等
式恒成立,从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题. 例3:
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (Ⅰ)讨论函数f(x)的
单调性. (Ⅱ)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),f
(x1)-f(x2)≥4x1-x2. 【解题思路】利用导数考察函数的单
调性,注意对数求导时定义域,第Ⅱ问构造函数证明函数的单调性
.
二、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题,一般
都会涉及求参数范围,往往把变量分离后可以转化为m>f(x)(或m
小值),从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题.因此,利用
导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法. 参
考文献: 赵大鹏.3+X 高考导练:数学[M].中国致公出版社,
2004-06. 作者简介:杨忠,男,1979 年5 月出生,本科,就职
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