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利用导数处理与不等式有关的问题

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利用导数处理与不等式有关的问题



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利用导数处理与不等式有关的问题
利用导数处理与不等式有关的问题


摘 要：导数是研究函数性质的一种重要工具。在处理与不等
式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质。因此，很多时侯可
以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体
讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。 关键词：导数；
不等式；问题 一、利用导数证明不等式 1.利用导数得出函
数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大
于（或小于）0 时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而
在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证
明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即
把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：
由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数
是比较重要的. 2.利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证
明不等式 导数的另一个作用是求函数的最值，因而在证明不等
式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的
最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等
式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题. 例3：
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1. （Ⅰ）讨论函数f（x）的
单调性. （Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），f
（x1）-f（x2）≥4x1-x2. 【解题思路】利用导数考察函数的单
调性，注意对数求导时定义域，第Ⅱ问构造函数证明函数的单调性 .
二、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般
都会涉及求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f（x）（或m （x））恒成立，于是m 大于f（x）的最大值（或m 小于f（x）的最
小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题.因此，利用
导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法. 参
考文献： 赵大鹏.3+X 高考导练：数学[M].中国致公出版社，
2004-06. 作者简介：杨忠，男，1979 年5 月出生，本科，就职

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