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实外七年级奥赛综合训练题(16)

上传者:刘鸿儒
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上传时间:2015-04-22
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实外七年级奥赛综合训练题(16)

实外七年级奥赛综合训练题(16)

一、选择题

1.若二个连续自然数的最小公倍数为660,则这三个数分别是( )

A.9,10,11; B.10,11,12; C.11,12,13; D.12,13,14

2.一个十位数字为零的三位数,它恰好等于其各位数字和的m倍,交换它的个位数字与百位数字后所得到的新数又是其各位数字和的n倍,n的值是( )

A.99–m; B.101–m; C.100–m; D.110–m

3.已知a1,a2,a3,?a1991都是正数,设

M?(a1?a2???a1990)(a2?a3???a1991),

N?(a1?a2???a1991)(a2?a3???a1990),

那么M与N的大小关系是( )

A.M > N; B.M≥N; C.M < N; D.M≤N

4.关于x的不等式b–ax>0的解一定是( )

A.x?bbb; B.x?; C.x??; D.以上答案都不对 aaa

5.若 xy + yz + zx = 0,则3xyz?x2(y?z)?y2(z?x)?z2(x?y)等于( )

A.1; B.0; C.- 1 ; D.2

6.在代数式(1)x- 4x + 4; (2) 1 + 6a; (3) 4x+4x – 1; (4) x+xy+y,是完全平方式的( )

A.只有(1); B.只有(3); C.只有(4); D.不包括(2)

27.已知 x- 3x + 1 = 0,那么x?2222221的值是(1111) x2

A.3; B.7; C.9; D.11

8.已知a?bb?cc?a??,且a,b,c互不相等,则 x+y+z 等于( ) xyz

a?c; D.1 bA.a+b–c ; B.0; C.

二、填空题

a2b2c2

1.化简:???___________. (a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)

2.已知x+2x + 5是x?px?5q的一个因式,那么 p + q 的值等于___________。

3.设 a<0,且有 |a|·x ≤a,试化简:|x+1| - |x–3 | = ______________.

4.已知关于x的方程2425x5x?a??142,且a为某些自然数时,方程的根为自然数,则最28

- 1 -

小自然数a = ____________.

5.若 |x+y–9 |与(2x?y?3)2的值互为相反数,x=__________, y =________________。

6.如果在分数287的分子和分母上分别加上自然数a,b以后,所得结果是,则a+b的最4312

小值是_____________。

7.令a*b=a+(a+1) + (a+2) +……+(a+b–1 ) 且x*10=65,那么x=____________.

8.若x>3,化简3 |3–x | - |x-6x+10| + |x-2x+1| = ___________.

三、解答题

1.解方程:||||x|-2|-1|-2| = 2.

2.设a,b,c是三个互不相等的正整数,求证:在a3b?av3,b3c?bc3,c3a?ca3这三个数中,至少有一个数能被10整除。

3.已知:如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于O,如果三角形ABD的面积为5,三角形ABC面积为6,三角形BCD面积为10,问三角形OBC的面积是多少?

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22

- 2 -

答案

一、选择题

1.B

2.B

3.A

4.D

5.B

6.A

7.B

8.B

二、填空题

1a2b2c2

原式= [?]?a?ba?cb?c(c?a)(c?b)

1(a?b)(ab?ac?bc)c2

??a?b(a?c)(b?c)(c?a)(c?b)

ab?ac?bcc2

??(a?c)(b?c)(c?a)(c?b)

ab?ac?bc?c2

?(a?c)(b?c)

?1.

2.11

利用除法,有p – 1 = 5且q = p – 1 ,

∴p = 6, q = 5,即 p + q = 11

3.-4

∵ a < 0, ∴原不等式变形为 -ax≤a, ∴x≤ -1

∴|x + 1| - |x – 3 | = - (x + 1) + (x – 3 ) = - 4.

4.8 ∵ 5x5x158?a??142,?x?a?142,即x?(a?142), 28815

∵x 为正整数解,且(8, 15) = 1。

∴15 | a + 142,则a最小为8。

5.x = 2且y = 7

∵|x?y?9|?0,(2x?y?3)?0,且|x?y?9|与(2x?y?3)互为相反数. 则只有 x + y – 9 = 2x – y + 3= 0,

∴?3?x?y?9 2x?y?3?0.?

28?a7?, 43?b12即x = 2且y = 7. 6.24即

∴12 a + 35 = 7b,

- 3 -

∵7 |35, 7 | 7b ∴7 |12a,且(7,12)=1.

∴a最小为7,相应b=17,∴(a+B)=24.

7.2

∵a*b= a+(a+1) + (a+2) + …+(a+b-1)

∴x*10 = x+(x+1) + (x+2) +…+(x+10–1) = 65.

∴x =2.

8.7x–18

原式=3(x?3)?(x2?6x?10)?x2?2x?1?7x?18

三、解答题

1.即| ||x| -2 | - 1| -2 = 2或 | || x | - 2 | - 1 | -2= -2, || x | -2 | -1 = 4或 ||x |-2 -1 = - 4或 ||x | -2 | -1 = 0; || x | -2 | = 5或 || x | -2 | = -3 (舍)或 | |x | -2 | = 1; ∴|x| -2 = 5或 |x| -2 = -5 或 |x| - 2 = 1 或 |x | -2 = -1. ∴|x| = 7或 |x| = - 3(舍)或 |x| = 3 或 |x| = 1.

∴x = ±7或x = ±3或x = ±1.

?a3b?ab3?ab(a2?b2)(1)?33222.?bc?bc?bc(b?c)(2)

?c3a?ca3?ca(c2?a2)(3)?

∴在a,b,c中有偶数或都是奇数时,

ab - ab, bc - bc,ca - ca三数总和整除2,

又∵在a,b,c三数,若有一个数是5的倍数,则得证命题。

设a,b,c都不能被5整除,则a,b,c的个位数只能是1,4,6,9。

从而a- b,b- c,c- a的个位数字只能是从1,4,6,9中取3个, 两两相差的差。

∵这些差中必有0或±5,

∴所以题中三式表示的数至少有一个能被5整除。

∵(2,5)=1,

∴ab - ab, ac- ac, bc - bc,至少有一个能被10整除。

3.设三角形AOD的高为h1,三角形ABO的高为h2,则 333333222222333333222

S?AOD

S?DOC11OA?h2??OA??S?ABO ?1OC1S?BCOOC?h1?OC?h2?22OA?h1?

设三角形OBC的面积为x, 则x?16?x?, 10?xx

∴ x = 4

- 4 -

即S?OBC?4.

- 5 -

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