实外七年级奥赛综合训练题(16)

实外七年级奥赛综合训练题(16)

一、选择题

1．若二个连续自然数的最小公倍数为660，则这三个数分别是（ ）

A．9，10，11; B．10，11，12; C．11，12，13; D．12，13，14

2．一个十位数字为零的三位数，它恰好等于其各位数字和的m倍，交换它的个位数字与百位数字后所得到的新数又是其各位数字和的n倍，n的值是（ ）

A．99–m; B．101–m; C．100–m; D．110–m

3．已知a1,a2,a3,?a1991都是正数,设

M?(a1?a2???a1990)(a2?a3???a1991),

N?(a1?a2???a1991)(a2?a3???a1990),

那么M与N的大小关系是（ ）

A．M > N; B．M≥N; C．M < N; D．M≤N

4．关于x的不等式b–ax>0的解一定是（ ）

A．x?bbb; B.x?; C．x??; D．以上答案都不对 aaa

5．若 xy + yz + zx = 0，则3xyz?x2(y?z)?y2(z?x)?z2(x?y)等于（ ）

A．1; B．0; C．- 1 ; D．2

6．在代数式（1）x- 4x + 4; (2) 1 + 6a; (3) 4x+4x – 1; (4) x+xy+y，是完全平方式的（ ）

A．只有（1）; B．只有（3）; C．只有（4）; D．不包括（2）

27．已知 x- 3x + 1 = 0，那么x?2222221的值是（1111） x2

A．3; B．7; C．9; D．11

8．已知a?bb?cc?a??，且a,b,c互不相等，则 x+y+z 等于（ ） xyz

a?c; D．1 bA．a+b–c ; B．0; C．

二、填空题

a2b2c2

1．化简：???___________. (a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)

2．已知x+2x + 5是x?px?5q的一个因式，那么 p + q 的值等于___________。

3．设 a<0，且有 |a|·x ≤a，试化简：|x+1| - |x–3 | = ______________.

4．已知关于x的方程2425x5x?a??142,且a为某些自然数时，方程的根为自然数，则最28

- 1 -

小自然数a = ____________.

5．若 |x+y–9 |与(2x?y?3)2的值互为相反数，x=__________, y =________________。

6．如果在分数287的分子和分母上分别加上自然数a,b以后，所得结果是，则a+b的最4312

小值是_____________。

7．令a*b=a+(a+1) + (a+2) +……+(a+b–1 ) 且x*10=65,那么x=____________.

8．若x>3，化简3 |3–x | - |x-6x+10| + |x-2x+1| = ___________.

三、解答题

1．解方程：||||x|-2|-1|-2| = 2.

2．设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证：在a3b?av3,b3c?bc3,c3a?ca3这三个数中，至少有一个数能被10整除。

3．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果三角形ABD的面积为5，三角形ABC面积为6，三角形BCD面积为10，问三角形OBC的面积是多少？

22

- 2 -

答案

一、选择题

1．B

2．B

3．A

4．D

5．B

6．A

7．B

8．B

二、填空题

1a2b2c2

原式= [?]?a?ba?cb?c(c?a)(c?b)

1(a?b)(ab?ac?bc)c2

??a?b(a?c)(b?c)(c?a)(c?b)

ab?ac?bcc2

??(a?c)(b?c)(c?a)(c?b)

ab?ac?bc?c2

?(a?c)(b?c)

?1.

2．11

利用除法，有p – 1 = 5且q = p – 1 ,

∴p = 6, q = 5,即 p + q = 11

3．-4

∵ a < 0, ∴原不等式变形为 -ax≤a, ∴x≤ -1

∴|x + 1| - |x – 3 | = - (x + 1) + (x – 3 ) = - 4.

4．8 ∵ 5x5x158?a??142,?x?a?142,即x?(a?142), 28815

∵x 为正整数解，且(8, 15) = 1。

∴15 | a + 142,则a最小为8。

5．x = 2且y = 7

∵|x?y?9|?0,(2x?y?3)?0,且|x?y?9|与(2x?y?3)互为相反数. 则只有 x + y – 9 = 2x – y + 3= 0,

∴?3?x?y?9 2x?y?3?0.?

28?a7?, 43?b12即x = 2且y = 7. 6．24即

∴12 a + 35 = 7b,

- 3 -

∵7 |35, 7 | 7b ∴7 |12a,且(7,12)=1.

∴a最小为7，相应b=17，∴(a+B)=24.

7．2

∵a*b= a+(a+1) + (a+2) + …+(a+b-1)

∴x*10 = x+(x+1) + (x+2) +…+(x+10–1) = 65.

∴x =2.

8．7x–18

原式=3(x?3)?(x2?6x?10)?x2?2x?1?7x?18

三、解答题

1．即| ||x| -2 | - 1| -2 = 2或 | || x | - 2 | - 1 | -2= -2, || x | -2 | -1 = 4或 ||x |-2 -1 = - 4或 ||x | -2 | -1 = 0; || x | -2 | = 5或 || x | -2 | = -3 （舍）或 | |x | -2 | = 1; ∴|x| -2 = 5或 |x| -2 = -5 或 |x| - 2 = 1 或 |x | -2 = -1. ∴|x| = 7或 |x| = - 3（舍）或 |x| = 3 或 |x| = 1.

∴x = ±7或x = ±3或x = ±1.

?a3b?ab3?ab(a2?b2)(1)?33222．?bc?bc?bc(b?c)(2)

?c3a?ca3?ca(c2?a2)(3)?

∴在a,b,c中有偶数或都是奇数时，

ab - ab, bc - bc,ca - ca三数总和整除2，

又∵在a,b,c三数，若有一个数是5的倍数，则得证命题。

设a,b,c都不能被5整除，则a,b,c的个位数只能是1，4，6，9。

从而a- b,b- c,c- a的个位数字只能是从1，4，6，9中取3个， 两两相差的差。

∵这些差中必有0或±5，

∴所以题中三式表示的数至少有一个能被5整除。

∵（2，5）=1，

∴ab - ab, ac- ac, bc - bc，至少有一个能被10整除。

3．设三角形AOD的高为h1,三角形ABO的高为h2，则 333333222222333333222

S?AOD

S?DOC11OA?h2??OA??S?ABO ?1OC1S?BCOOC?h1?OC?h2?22OA?h1?

设三角形OBC的面积为x， 则x?16?x?, 10?xx

∴ x = 4

- 4 -

即S?OBC?4.

- 5 -