数形结合思想(二)
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专题十一 数形结合思想
一、 考点回顾
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研
究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“数缺
形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知
识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方
法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识
相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，
为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、
斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我
们提供了 “数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成
数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结
合千般好，数形分离万事休”。
二、 经典例题剖析
1．选择题
（1）（2007 浙江）设
2
1
( )
1
x x
f x
x x
， ≥ ，
， ，
( ) g x 是二次函数，若 ( ( ) ) f g x 的值域是 0 ， ∞ ，则 ( ) g x
的值域是（ ）
A． 1 1 ∞ ， ， ∞ B． 1 0 ∞ ， ， ∞
C． 0 ， ∞ D． 1 ， ∞
解析：因为 ( ) g x 是二次函数，值域不会是A、B，画出函数 ( ) y f x
的图像（图1）易知，当 ( ) g x 值域是 0 ， ∞ 时， ( ( ) ) f g x 的仁 政域是
0 ， ∞ ，答案：C。
点评：本题考查函数的图像、定义域、值域，是高考的一个 重点，考题
多以小题形式出现。
（2）（2007 黄冈模拟）平面直角坐标系中，若方程
2 2 2
( 2 1) ( 2 3) m x y y x y 表示椭圆，则实
数m 的取值范围是 （ ）
A.（0，5） B.（1，+ ） C.（0，1） D.（5，+ ）
解析：分析方程的结构特点，联想椭圆第二定义，可知应把左右两边分别化为两点间的距离和点到
直线的距离：
2 2
| 2 3 |
( 1) 5
5
x y
m x y
，
即
2 2
( 1) 5
( 0 , 1)
| 2 3 |
5
x y
e
x y
m
时表示椭圆，解得m>5,故选 D。
1
。
O
y
x 1
图1
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