希尔伯特-黄变换说明及程序

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希尔伯特-黄变换说明及程序

希尔伯特变换

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质模态函数(IMF)

任何一个资料，满足下列两个条件即可称作本质模态函数。

⒈ 局部极大值(local maxima)以及局部极小值(local minima)的数目之和必须与零交越点(zero crossing)的数目相等或是最多只能差1，也就是说一个极值后面必需马上接一个零交越点。

⒉ 在任何时间点，局部最大值所定义的上包络线(upper envelope)与局部极小值所定义的下包络线，取平均要接近为零。

因此，一个函数若属于IMF，代表其波形局部对称于零平均值。此类函数类似于弦波（sinusoid-like），但是这些类似于弦波的部分其周期与振幅可以不是固定。因为，可以直接使用希尔伯特转换，求得有意义的瞬时频率。经验模态分解(EMD)

希尔伯特变换

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EMD算法流程图

建立IMF是为了满足希尔伯特转换对于瞬时频率的限制条件之前置处理，也是一种转换的过程。我们将IMF来做希尔伯特转换可以得到较良好的特性，不幸的是大部分的资料并不是IMF，而是由许多弦波所合成的一个组合。如此一来，希尔伯特转换并不能得到正确的瞬时频率，我们便无法准确的分析资料。为了解决非

希尔伯特变换

线性（non-linear）与非稳态（non-stationary）资料在分解成IMF时所遇到的困难，便发展出EMD。

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经验模态分解是将讯号分解成IMF的组合。经验模态分解是借着不断重复的筛选程序来逐步找出IMF。

以讯号为例，筛选程序的流程概述如下

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步骤 1 :

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找出中的所有局部极大值以及局部极小值，接着利用三次样条(cubic spline)，分别将局部极大值串连成上包络线与局部极小值串连成下包络

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线。

步骤 2 : 求出上下包络线之平均，得到均值包络线。步骤 3 : 原始信号

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与均值包络线相减，得到第一个分量。步骤 4 : 检查是否符合IMF的条件。如果不符合，则回到步骤1并且将

当作原始讯号，进行第二次的筛选。亦即

重复筛选次

直到符合IMF的条件，即得到第一个IMF分量，亦即

步骤 5 : 原始讯号减去可得到剩余量，表示如下式

希尔伯特变换

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步骤 6 :

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将当作新的资料，重新执行步骤1至步骤5

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，得到新的剩余量

。如此重复次

. .

当第个剩余量已成为单调函数

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(monotonic function)，将无法再分解IMF

可以表示成个IMF分量与一个平时，整个EMD的分解过程完成。原始讯号

均趋势(mean trend)分量的组合，亦即

如此一来，原始资料便分解成n个IMF和一个趋势函数，我们便可将IMF做希尔伯特转换来进行瞬时频率的分析。

结论

希尔伯特变换

傅立叶变换是将一个讯号分解成无限多个弦波来分析资料，但是希尔伯特-黄转换则是将一个讯号分解成数个近似于弦波的讯号（周期、振幅不固定）和一个趋势函数来做分析。

两者各有其优缺点，整理如下

优点：

1.避免复杂的数学运算

2.可分析频率会随时间变化的讯号

3.较适于分析气候、经济等具有趋势的资料

4.可以找出一个函数的趋势

缺点：

1.缺乏严谨的物理意义

2.需要复杂的递回，运算时间反而比短时距傅立叶变换要长

3.希尔伯特转换未必能正确计算出本质模态函数之瞬时频率

4.无法使用快速傅立叶变换

5.只有在特例（组合较简单的资料）时使用希尔伯特-黄转换较快

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