欧拉公式一点通

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欧拉公式一点通

欧拉公式应用问题一点通

简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间有关系：V+F-E=2，称此式子为欧拉公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑不变性。它表明对于简单多面体V+F-E是一个不变的常数2。利用欧拉公式，求解多面体的棱数、面数、顶点数、各面多边形的内角总和等问题，是高考的基本要求，可能出现在选择题或填空题中。

问题1 C70分子是球状简单多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求 C70分子中五边形和六边形的个数各是多少？

分析设出五边形与六边形的个数，由面数、顶点数、棱数的关系，列方程组求解。解析设C70分子中五边形和六边形的面各有x个和y个

多面体的顶点数V=70，面数F=x+y ，棱数E?

根据欧拉公式得 70?(x?y)?1(3?70) 。 21(3?70)?2 ，即 x+y=37; 2

另一方面，棱数也可由多边形边数来表示， 11(5x?6y)?(3?70) ，即 5x+6y=210 . 22

由方程组 {x?y?375x?6y?210，解得 x=12 , y=25

所以C70分子中五边形和六边形的个数分别为12 和25 。

点评一般的，关于多面体棱数有以下结论：

（1）多面体的棱数E与各面的边数之间有关系：若设各面边数分别为

1,nF，则总棱数E?(n1?n2??nF)。特别的，当各面多边形2

mF边数相等，设为m条，则总棱数E?。 2n1,n2,

（2）多面体的棱数E与由各顶点引出的棱数之间有关系：若设各顶点的棱数分

1mv，则总棱数 E?(m1?m2??mv) 。特别的，当各2

nv顶点引出棱数相等，设为n条，则总棱数E?. 2别为m1,m2,

本题利用棱数E：一方面满足欧拉公式；另一方面，棱数E等于各顶点引出的棱数和的一半，列出两个方程求解，这体现了方程的思想。

问题2 一个正多面体内角和为3600，求它的面数、顶点数和棱数。

[分析] 需从各个面的内角总和入手，再利用欧拉公式求解。

[解析] 由多面体内角和为3600 ，得 (V?2)?3600?36000， 00

?V?2?10，得V=12。

设过每个顶点的的棱数为n，每个面的边数为m，则 E?

代入 V+F-E=2 得 12?nv12n=6n, F?， 2m(#) 12n52?6n?2, 即 ??1m3nm

当 n=3 或 n=4 (#)中无整数解；

当n=5时，由 (#)得 m=3 ,， ?E?30 , ?F?20 , 综上得 E=30 , V=12 , F =20 .

[点评] 简单多面体顶点数V?4，面数F?4，且过每个顶点的的棱数n，每个面的边数m都是不小于3的整数；各面多边形的内角总和为S?(E?F)?3600?(V?2)?3600，欧拉利用这个等式关系证明了欧拉公式。

可将上述方法及规律应用到其它问题中，如晶体硼、晶体铜、C60等。

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