初二雨露数学竞赛第四讲答案

初二雨露数学竞赛第四讲答案

【核心内容】

【思维体验】

一、不等式（组）与方程的综合应用

【例1】【解答一】

∵ 3x 2y m 1，

2x 3y 4 3m

1 x (9m 11) 5∴ ， 1 y (14 11m)5

∵x y

11∴(9m 11) (14 11m) 55

∴9m 11 14 11m

∴20m 25

5∴m 4

∴当m 3x 2y m 15时，关于x、y的方程组 的解满足x y， 4 2x 3y 4 3m

【例1】【解答二】

3x 2y m 1∵ ，x y， 2x 3y 4 3m

∴x y (m 1) (4 3m)=m 1 4 3m=4m 5 0

∴m 5 4

3x 2y m 15∴当m 时，关于x、y的方程组 的解满足x y， 42x 3y 4 3m

【举一反三】【解答】

∵ x m 1

x m 0

∴m x m 1

x m 1∵不等式组 的任何一个解都不在2 x 5的范围内，

x m 0

∴m 1 2或者m 5

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x m 1所以当m 1或m 5时，不等式组 的任何一个解都不在2 x 5的范围内 x m 0

二、不等式（组）与整数问题的综合应用；

【例2】【解答一】

若正整数x、y满足x y，则12x 12x 12x 1==2 ，由是正整数得到x 1，与x 1矛盾； yx

若正整数x、y满足x y，

∵正整数x、y满足x y，

∴2x 2y 2y 1， ∴2 2y 1

x， ∵2y 1

x是正整数， ∴2y 1

x 1，

∴x 2y 1，

∴2x 1 4y 3， ∴2x 1

y 4y 33

y=4 y， ∵2x 1

y、y是正整数，且y 1，

∴y 3，

∴ y 3

2 3 1 5，

x

∴ x 5，

y 3

∴x y 8；

同理：若正整数x、y满足x y，

∵正整数x、y满足x y，

∴2y 2x 2x 1， ∴2 2x 1

y， xy

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∵2x 1是正整数， y

∴2x 1 1， y

∴y 2x 1，

∴2y 1 4x 3， 2y 14x 33 =4 ， xxx

2y 1∵、x是正整数，且x 1， x

∴x 3， ∴

∴ x 3，

y 2 3 1 5

x 3，

y 5∴

∴x y 8；

综上所述： x y 8；

三、不等式证明的综合应用

【例3】【证明】

（1）∵a b 2ab=(a b)2 0 22

∴a2 b2 2ab

（2）∵a b 2ab，b c 2bc，c a 2ac 222222

∴2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac

∴a2 b2 c2 ab bc ac

【例4】【解答一】

∵a、b、c、d为任意实数，且满足a b c d 1， ∴a

21111 x，b y，c z，d m，x y z m 0 4444222∴a b c d =(1111 x)2 ( y)2 ( z)2 ( m)2 4444

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11 2 (x y z m) x2 y2 z2 m2 164

112222= x y z m 44

12222∴a b c d 4=4

【解答二】

∵a、b、c、d为任意实数，且满足a b c d 1，

(a b)2 0，(a c)2 0，(a d)2 0，(b c)2 0，(b d)2 0，(c d)2 0

∴(a b)2 (a c)2 (a d)2 (b c)2 (b d)2 (c d)2 0

∴3a 3b 3c 3d 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd

∴4a 4b 4c 4d a b c d 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd

∴4a2 4b2 4c2 4d2 (a b c d)2 1 ∴a b c d 22222222222222221； 4

【注】例3给出了高中数学中一个重要的公式,其应用比较广泛也较为灵活. 有此公式最好讲解此式的应用.其实，例4便可以利用该公式证明

【提示】∵(a2+b2)+ (a2+c2) + (a2+d2) + +(c2+d2)≥2ab+2ac+2ad +2cd.

∴4(a2+b2+c2+d2) ≥(a+b+c+d)2

（提高训练第10题以及测试题第7题都可运用此公式）

【例5】

1111 1 22 33 42014 2015

111 = 1 22 32014 2015

111111 = 122320142015

1 1 =1 2015

1111 1 ∴1 22 33 42014 2015

11111111 （2）【证明】2 2 2 2013 20141232014211 22 3

111 =1 1 22 32013 2014

111111 =1 122320132014

1 2 =2 2014

1111 2 ∴2 2 2 21232014（1）【证明】

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（3）【证明】∵a1、a2、a3、 、a2015是2015个互不相等的正整数，

不妨设a1 a2 a3 a2014 a2015，

∴a1 1，a2 2，a3 3， ，a2014 2014，a2015 2015， ∴1

a12 1a22 1a32 1a20142 1a20152 11111 ， 2222212320142015

∵11，其中n 2， 2(n 1)nn

11111111 222211 22 32014 20151232015

1111 ∴ 11 22 32014 2015

1111111 = 1122320142015

1 2 =1 1 2015∴

∴1

a12 1a22 1a32 1a20142 1a20152 2

四、不等式在高斯函数（取整函数）中的综合应用

【例6】【解答】 111 n，其中n为整数，则x n ， 224

1∵[3x 1] 2x 2

11∴[3(n ) 1] n 24

11∴n 3(n ) 1 n 1 24

∴4n 6n 3 4 4n 4 设2x

4n 6n 7∴ 6n 7 4n 4

7 n 2 ∴ 3 n 2

73∴ n 22

∵n为整数，

∴n 3或n 2，