线代公式概念复习
线代公式概念复习 1) 行列式与它的转置行列式相等。 2) 互换行列式的两行,行列式变号。
3) 若行列式中有两行的对应元素相同,则此行列式为0
4) 用数k乘行列式某一行的全部元素,等于用数k乘该行列式。 5) 行列式中某行的所以元素的公因子可以提到行列式符号外面。 6) 某行元素全为零的行列式其值为零。
7) 行列式中若有两行元素成比例,则此行列式为零。
8) 若行列式D的某一行的元素都是两数之和,则D等于以下两个行列式之和。(如图所
示)
9)将行列式某一行的所有元素都乘以数k后加到另一行对应位置的元素上,行列式的值不变。 10) 行列式的计算:
内容需要下载文档才能查看1.递推法
例1 求行列式的值:
(1)
的构造是:主对角线元全为
;主对角线上方第一条次对角线的元全为
,下方
第一条次对角线的元全为1,其余元全为0;即列式为n阶。 解 把类似于
为三对角线型。又右下角的(n)表示行
,但为k阶的三对角线型行列式记为。
把(1)的行列式按第一列展开,有两项,一项是
内容需要下载文档才能查看
另一项是
内容需要下载文档才能查看
上面的行列式再按第一行展开,得列式
内容需要下载文档才能查看乘一个n
内容需要下载文档才能查看– 2 阶行列式,这个n
内容需要下载文档才能查看– 2 阶行列式和原行
的构造相同,于是有递推关系:
(2)
移项,提取公因子β:
类似地:
(递推计算)
直接计算
若
;否则,除以
后移项:
再一次用递推计算:
∴
当β = α,从
,
内容需要下载文档才能查看当β≠α (3)
从而
。
由(3)式,若。
∴
注 递推式(2)通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注1 仿照例1的讨论,三对角线型的n阶行列式
(3)
和三对角线型行列式
内容需要下载文档才能查看
(4)
有相同的递推关系式
内容需要下载文档才能查看内容需要下载文档才能查看
(
内容需要下载文档才能查看5)
内容需要下载文档才能查看内容需要下载文档才能查看
(6)
内容需要下载文档才能查看
注意
内容需要下载文档才能查看
两个序列
和
的起始值
相同,递推关系式(5)和(6)的构造也相同,故必有
由(4)式,
的每一行都能提出一个因子a ,故
。前面算出
例2 计算n阶范德蒙行列式行列式
,故
等于
乘一个n阶行列式,这一个
行列式就是例1的
内容需要下载文档才能查看
解
内容需要下载文档才能查看:
内容需要下载文档才能查看内容需要下载文档才能查看
即n
内容需要下载文档才能查看阶范德蒙行列式等于
这n个数的所有可能的差
的乘积
2.拆元法
例3:计算行列式
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