案例问题2-投资战略案例参考答案

投资咨询公司为客户提供投资管理,根据不同需求,建立线性规划模型,求出使总收益最大的解,并根据模型写出管理报告。

（原书第12版）数据、模型与决策（管理科学篇） 戴维R.安德森等 机械工业出版社

案例问题2 投资战略

J.D.威廉姆斯公司是一个投资咨询公司，为大量的客户管理高达1.2亿美元的资金。公司运用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资量，分别投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来说，投资在股票方面的资金应该占总投资的20%~40%，投资在收入基金上的资金应该确保在20%~50%之间，货币市场方面的投资至少应该占30%。

此外，公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求。比如，威廉姆斯的一位新客户希望投资800000美元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为0.05。公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是0.10，收入基金的风险指数是0.07，货币市场的风险指数是0.01。整个投资的风险指数是各项投资所占总投资的百分比与其风险指数乘积的代数和。

此外公司预测，股票基金的年收益率是18%，收入基金的收益率是12.5%，货币市场基金的收益率是7.5%。现在，基于以上的信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立线性规划模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。

管理报告：

1. 如何将800000美元投资于这三种基金。按照你的计划，投资的年收益是

多少？

2. 假设客户的风险承受指数提高到0.055，那么在投资计划更改后，收益将

增加多少？

3. 假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05，而股票成长基金的年收益

率下降至16%，甚至14%时，那么新的最佳投资方案是什么？

4. 假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条

件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？

5. 当遇到预期收益率变化时，你所建立的线性规划模型应该可以对客户的

投资方案作出修改，那么这个模型的适用范围是什么？

解：

1. 设投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金的资金占总投资的比例分

别为x，y，z。该最大收益问题可表示如下：

Max 800000*(0.18*x+0.125*y+0.075*z)

s.t.

x>=0.2;

x<=0.4;

y>=0.2;

y<=0.5;

z>=0.3;

x+y+z=1;

0.1*x+0.07*y+0.01*z<=0.05;

1

投资咨询公司为客户提供投资管理,根据不同需求,建立线性规划模型,求出使总收益最大的解,并根据模型写出管理报告。

用Lingo求解，可知，当投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金的资金占总投资的比重分别为31.11%、20.00%和48.89%时，年收益最大，投资的年收益是94133美元。

（这是最大收益问题。按题意，需在客户能承受的风险指数之内，合理分配各项投资在总投资中的比重。）

//Lingo 运行结果//

Global optimal solution found.

Objective value: 94133.33

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost X 0.3111111 0.000000 Y 0.2000000 0.000000 Z 0.4888889 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 94133.33 1.000000 2 0.1111111 0.000000 3 0.8888889E-01 0.000000 4 0.000000 -16000.00 5 0.3000000 0.000000 6 0.1888889 0.000000 7 0.000000 50666.67 8 0.000000 933333.3

2. 客户风险承受指数提高到0.055之后，该最大收益问题可表示如下： Max 800000*(0.18*x+0.125*y+0.075*z)

s.t.

x>=0.2;

x<=0.4;

y>=0.2;

y<=0.5;

z>=0.3;

x+y+z=1;

0.1*x+0.07*y+0.01*z<=0.055;

用Lingo求解，可知，当投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金的资金占总投资的比重分别为36.67%、20.00%和43.33%时，年收益最大，投资的年收益是98800美元，收益增加4667美元。

//Lingo 运行结果//

2

投资咨询公司为客户提供投资管理,根据不同需求,建立线性规划模型,求出使总收益最大的解,并根据模型写出管理报告。

Global optimal solution found.

Objective value: 98800.00

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 2

Variable Value Reduced Cost X 0.3666667 0.000000 Y 0.2000000 0.000000 Z 0.4333333 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 98800.00 1.000000 2 0.1666667 0.000000 3 0.3333333E-01 0.000000 4 0.000000 -16000.00 5 0.3000000 0.000000 6 0.1333333 0.000000 7 0.000000 50666.67 8 0.000000 933333.3

3. （1）当股票成长基金的年收益率从18%下降到16%之后，该最大收益问题可表示为

Max 800000*(0.16*x+0.125*y+0.075*z)

s.t.

x>=0.2;

x<=0.4;

y>=0.2;

y<=0.5;

z>=0.3;

x+y+z=1;

0.1*x+0.07*y+0.01*z<=0.05;

用Lingo求解，可知，当投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金的资金占总投资的比重分别为31.11%、20.00%和48.89%时，年收益最大，投资的年收益是89156美元。

（2）当股票成长基金的年收益率从18%下降到14%之后，该最大收益问题可表示为

Max 800000*(0.14*x+0.125*y+0.075*z)

s.t.

3

投资咨询公司为客户提供投资管理,根据不同需求,建立线性规划模型,求出使总收益最大的解,并根据模型写出管理报告。

x>=0.2;

x<=0.4;

y>=0.2;

y<=0.5;

z>=0.3;

x+y+z=1;

0.1*x+0.07*y+0.01*z<=0.05;

用Lingo求解，可知，当投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金的资金占总投资的比重分别为20.00%、36.67%和43.33%时，年收益最大，投资的年收益是85067美元。

4. 如果投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，则该最大收益问题可表示为

Max 800000*(0.18*x+0.125*y+0.075*z)

s.t.

x>=0.2;

x<=0.4;

y>=0.2;

y<=0.5;

z>=0.3;

x+y+z=1;

x<y;

0.1*x+0.07*y+0.01*z<=0.05;

用Lingo求解，可知，当投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金的资金占总投资的比重分别为26.67%、26.67%和46.67%时，年收益最大，投资的年收益是93067美元。

//lingo 运行结果//

Global optimal solution found.

Objective value: 93066.67

Infeasibilities: 0.000000

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost X 0.2666667 0.000000 Y 0.2666667 0.000000 Z 0.4666667 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 93066.67 1.000000 4

投资咨询公司为客户提供投资管理,根据不同需求,建立线性规划模型,求出使总收益最大的解,并根据模型写出管理报告。

2 0.6666667E-01 0.000000

3 0.1333333 0.000000

4 0.6666667E-01 0.000000

5 0.2333333 0.000000

6 0.1666667 0.000000

7 0.000000 51733.33

8 0.000000 9600.000

9 0.000000 826666.7

5. 对如下线性规划方程进行灵敏度分析：

Max 800000*(0.18*x+0.125*y+0.075*z)

s.t.

x>=0.2;

x<=0.4;

y>=0.2;

y<=0.5;

z>=0.3;

x+y+z=1;

0.1*x+0.07*y+0.01*z<=0.05;

用Lingo进行灵敏度分析，利用计算结果中目标系数范围部分中的信息，来计算目标函数系数的最优范围。在目标函数系数的最优范围内，所建立的模型适用。

x当前的目标函数系数是144000，可允许增量是无穷大，可允许减量是24000。即，股票基金的最优年收益率在15%（（144000-24000）/800000=0.15）至无穷大之间。（注：回顾第3问和第1问，当股票基金的最优年收益率在15%以上时，最优解一致；当股票基金的最优年收益率为14%时，最优解有变动。所以当收益率超出最优范围时，模型需要修改。）

同理可知，收入基金的收益率的最优范围在无穷小至14.5%之间，货币市场基金的收益率的最优范围在1.5%至18%之间。

//Lingo运行结果//

Ranges in which the basis is unchanged:

Objective Coefficient Ranges

Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X 144000.0 INFINITY 24000.00 Y 100000.0 16000.00 INFINITY Z 60000.00 84000.00 48000.00

Righthand Side Ranges

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