2015小高华杯赛答案及解析

2015小高华杯赛试卷答案及解析

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题B（小学高年级组）

一、填空题（每小题10份，共80分）

1. 计算：57.6 81845 28.8

5 14.4 80 121

2

________． 【难度】★

【考点】计算：提取公因数 【答案】12

1 【解析】

原式 57.6 81841

5 28.8 5 14.4 80 12

2 28.8 165 28.8 1845 14.4 80 12

1

2 28.8 2005 14.4 80 121

2

28.8 40 14.4 2 40 12

1

2

12

12

2. 甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是

其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树________棵．

【难度】★★

【考点】应用题：分数应用题 【答案】13 【解析】

甲=总数的三分之一=20，乙=总数的四分之一=15，丙=总数的五分之一=12，所以丁 60 20 15 12 13（棵）

3. 当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成________度的角．

【难度】★★

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【考点】行程：时钟问题 【答案】106 【解析】

5点时，时针分针夹角150度，每分钟追赶6 0.5 5.5度，所以8分钟追赶5.5 8 44度，所以成150 44 106度

4. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，

那么这个数最小为________．

【难度】★★

【考点】数论：余数、最小公倍数 【答案】122 【解析】

这个三位数减去2得到3、4、5、6的公倍数，取三位数120，所以最小值为122．

5. 贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一

种这样的星球局势，共可以组成________个两两都是友国的三国联盟．

【难度】★★★★ 【考点】计数：组合计数 【答案】7 【解析】

用A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7这7个点代表七个国家，用虚线连接表示敌国关系，用实线连接表示友国关系．则每个国家连出2条虚线，4条实线．共7 2 2 7条虚线，其余为实线．

首先说明这7个点必然由7条虚线依次连接为一个闭合回路．A2必与两个点连接虚线，不妨记为A1,A3，而A3必然再与一个点连接虚线，记为A4； A4虚线连接A5，否则剩下3个点互为敌国关系； A5虚线连接A6，否则剩下两个点无法由2条虚线连接； A6虚线连接A7，最后A7只能虚线连接A1．

最终连线图如下．

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只要选出的三个点没有任何两个相邻则满足条件．有135，136，146，246，247，257，357，这7种．（为了直观我们用1,2,3,4,5,6,7分别代表A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7）

6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最

大的是________，最小的是________．

【难度】★★★ 【考点】数论:位值原理 【答案】9421，1249 【解析】

设其中最小的四位数为abcd，一共可组成4 3 2 1 24个不同的四位数，由于每个数字在每位上均出现6次，则24个数和为6 a b c d 1111 106656，则四个数字之和为16，所以最大和最小的可能为，9421和1249、8521和1258、8431和1348、7621和1267、7531和1357、7432和2347、6541和1456、6532和2356．

7. 见右图，三角形ABC的面积为1，DO:OB 1:3，EO:OA 4:5，则三角形DOE的面积为

________．

【难度】★★★★ 【考点】几何：等积变形 【答案】

11135

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【解析】

y

E

12xA

B

设三角形DOE的面积为4x，由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为5x,12x,15x，再设三角形DCE的面积为y，则有CEyy 4x 5BE 4x 12x x12x 15x，得y 144

11

x，则三角形DOE的面积为4

114 5 12 15

135．

11

8. 三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么

这3个数之积的末尾3位数字有________种可能数值．

【难度】★★★★★

【考点】组合：分类讨论数论综合 【答案】4 【解析】

设三个数的个位分别为a,b,c

⑴ 如果a,b,c都相等，则只能都为0； ⑵ 如果a,b,c中有两个相等，

①a,a,c且a c，必有c a 10 a，则c 10，与c为数字矛盾； ②a,a,c且a c，则有c a a,a a 10 c，则a 5,c 0；

⑶ 如果a,b,c都不相等，设a b c，则c b 1

0 a,c a 10 b，则c 10，与c为数字矛盾；综上三个数的个位分别为0，0，0或0，5，5； ⑴如果都为0，则乘积末尾3位为000； ⑵如果为0，5，5

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①如果个位为0的数，末尾3位都为0，则乘积末尾3位为000； ②如果个位为0的数，末尾2位都为0，则乘积末尾3位为500或000；

③如果个位为0的数，末尾1位为0设末尾两位为c0，设另外两个末尾2位为a5,b5，则

a5 b5 100ab 50 a b 25，若 a b 为奇数，则乘积末尾3位为75；若 a b 为偶数则乘积为25，在乘上c0,无论c为多少，末尾三位只有000，250，500，750这4种．综上，积的末尾3位有000，500，250，750这4种可能．

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9. 将1234567891011的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．

【难度】★★★★ 【考点】数论：完全平方数 【答案】不能 【解析】

原数的数字和为1 2 3

9 1 0 1 1 48，为3的倍数，而交换数字位置不会改变数字和，

所以无论怎么调整得到的数一定为3的倍数；而一个平方数如果为3的倍数，则一定为9的倍数，而48不是9的倍数，所以无法通过交换数字位置得到一个完全平方数．

10. 如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为y,5,x的长方体（x,y

为整数），余下部分的体积为120，求x和y．

x

4

y

15

【难度】★★★

【考点】几何：长方体正方体 【答案】x 3,y 12