抽屉原理
第五单元 数学广角——鸽巢问题
第一课时
教学时间: 教学目标:
1、知识与技能:了解“鸽巢问题”的特点,理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2、过程与方法:经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观:通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。 教学重难点:
重点:引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。 难点:找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。 教学准备:课件 教学过程: 一.情境导入 二、探究新知
1.教学例1.(课件出示例题1情境图)
思考问题:把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有1个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢?“总有”和“至少”是什么意思? 学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。
(1)操作发现规律:通过吧4支铅笔放进3个笔筒中,可以发现:不管怎么放,总有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。 (2)理解关键词的含义:“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。 (3)探究证明。
方法一:用“枚举法”证明。 方法二:用“分解法”证明。 把4分解成3个数。
由图可知,把4分解成3个数,与枚举法相似,也有4中情况,每一种情况分得的3个数中,至少有1个数是不小于2的数。 方法三:用“假设法”证明。
通过以上几种方法证明都可以发现:把4只铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。 (4)认识“鸽巢问题”
像上面的问题就是“鸽巢问题”,也叫“抽屉问题”。在这里,4支铅笔是要分放的物体,就相当于4只“鸽子”,“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”,把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子,总有1个笼子里至少有2只鸽子。
这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思;而“至少”指的是最少,即在所有方法中,放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。
小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 ?如果放的铅笔数比笔筒的数量多2,那么总有1个笔筒至少放2支铅笔;如果放的铅笔比笔筒的数量多3,那么总有1个笔筒里至少放2只铅笔 小结:只要放的铅笔数比笔筒的数量多,就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。 (5)归纳总结: 鸽巢原理(一):如果把m个物体任意放进n个抽屉里(m>n,且n是非零自然数),那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。 2、教学例2(课件出示例题2情境图) 思考问题:(一)把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有1个抽屉里至少有3本书。为什么呢?(二)如果有8本书会怎样呢?10本书呢? 学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题(一)。 (1)探究证明。
方法一:用数的分解法证明。
把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里,共有如下8种情况:
由图可知,每种情况分得的3个数中,至少有1个数不小于3,也就是每种分法中最多那个数最小是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。 方法二:用假设法证明。
把7本书平均分成3份,7÷3=2(本)......1(本),若每个抽屉放2本,则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中,那么这个抽屉里就有3本书。
(2)得出结论。
通过以上两种方法都可以发现:7本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。
学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题(二)。 (1)用假设法分析。
8÷3=2(本)......2(本),剩下2本,分别放进其中2个抽屉中,使其中2个抽屉都变成3本,因此把8本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进3本书。
10÷3=3(本)......1(本),把10本书放进3个抽屉中,不管怎么放,总有1个抽屉里至少放进4本书。 (2)归纳总结:
综合上面两种情况,要把a本书放进3个抽屉里,如果a÷3=b(本)......1(本)或a÷3=b(本)......2(本),那么一定有1个抽屉里至少放进(b+1)本书。
鸽巢原理(二):古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉(k是正整数,n是非0的自然数),那么一定有一个抽屉中至少放进了(k+1)个物体。 三、巩固练习;
1、完成教材第70页的“做一做”第1题;学生独立思考解答问题,集体交流、纠正;2、完成教材第71页练习十三的1-2题;学生独立思考解答问题,集体交流、纠正; 四、课堂总结
教学反思:
第二课时
教学时间: 教学目标:
1、知识与技能:在了解简单的“鸽巢原理”的基础上,使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2、过程与方法:经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观:通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。 教学重难点:
重点:引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。 难点:找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么,“鸽巢”有几个,在利用“鸽巢原理”进行反向推理。 教学准备:课件。 教学过程: 一.情境导入 二、探究新知
1、教学例3(课件出示例3的情境图). 出示思考的问题:盒子里有同样大小的红球和篮球各4个,要想摸出的球一定有2个同色的,少要摸出几个球?
学生通过“猜测验证→分析推理”的学习过程解决问题。 (1)猜测验证。
猜测1:只摸2个球 就能保证这2个球 验 证 如:这两个球正好是一红一蓝时就不能 同色。
猜测2:摸出5 肯定有2个球是同 验 证 ÷2=2...1,所以摸出5个球时,至少有3 色的。 5?1:摸出3 至少有2个球是同 3÷2=1...1,所以摸出3个球时,至少有3 色的。 2个是同色的。
综上所述,摸出3个球,至少有2个球是同色的。 (2)分析推理。
根据“鸽巢原理(一)”推断:要保证有一个抽屉至少有2个球,分的无图个数失少要比抽屉数多1。现在把“颜色种数”看作“抽屉数”,结论就变成了“要保证摸出2个同色的球,摸出的球的个数至少要比颜色种数多1”。因此,要从两种颜色的球中保证摸出2个同色的,至少要摸出3个球。
2、趁热打铁:箱子里有足够多的5种不同颜色的球,最少取出多少个球才能保证其中一定有2个颜色一样的球? 学生独立思考解决问题,集体交流。 3、归纳总结:
运用“鸽巢原理”解决问题的思路和方法: (1)分析题意;
(2)把实际问题转化成“鸽巢问题”,弄清“鸽巢”和分放的“鸽子”。 (3)根据“鸽巢原理”推理并解决问题。
三、巩固练习
1、完成教材第70页的“做一做”的第2题。(学生独立解答,集体交流。) 2、完成教材第71页的练习十三的第3-4题。(学生独立解答,集体交流。) 3、课外拓展延伸题:一个布袋里有红色、黑色、蓝色的袜子各8只。每次从布袋里最少要拿出多少只可以保证其中有2双颜色不同的袜子?(袜子不分左右) 四、课堂总结
教学反思:
第三课时
教学时间:
教学内容:教材71页练习十三的5、6题,及相关的练习题。 教学目标:
1、知识与技能:进一步熟知“鸽巢原理”的含义,会用“鸽巢原理”熟练解决简单的实际问题。
2、过程与方法:经历探究“鸽巢原理”的学习过程,体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法,渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观:通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。 教学重难点 重点:应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。 难点:理解“鸽巢原理”,找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。 教学准备:课件。 教学过程: 一、复习导入 二、指导练习
(一)基础练习题 1、填一填:
(1)水东小学六年级有30名学生是二月份(按28天计算)出生的,六年级至少有( )名学生的生日是在二月份的同一天。
(2)有3个同学一起练习投篮,如果他们一共投进16个球,那么一定有1个同学至少投进了( )个球。
(3)把6只鸡放进5个鸡笼,至少有( )只鸡要放进同1个鸡笼里。
(4)某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,小书架上至少要有( )本书,才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。 学生独立思考解答,集体交流纠正。 2、解决问题。 (1)(易错题)六(1)班有50名同学,至少有多少名同学是同一个月出生的? (2)书籍里混装着3本故事书和5本科技书,要保证一次一定能拿出2本科技书。一次至少要拿出多少本书? (3)把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里,可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不少于6支?
(二)拓展延伸题
1、把27个球最多放在几个盒子里,可以保证至少有1个盒子里有7个球? 教师引导学生分析:盒子数看作抽屉数,如果要使其中1个抽屉里至少有7个球,那么球的个数至少要比抽屉数的(7-1)倍多1个,而(27-1)÷(7-1)=4...2,因此最多放进4个盒子里,可以保证至少有1个盒子里有7个球。 教师引导学生规范解答:
2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只,一次至少取出多少只可以保证每种颜色至少有1只?
教师引导学生分析:假设先取5只,全是红的,不符合题意,要继续去;假设再取5只,5只有全是黄的,这时再取一只一定是蓝色的,这样取5×2+1=11(只)
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