2015年全国初中数学邀请赛详解

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2015年全国初中数学邀请赛详解

322解：an?n?3n??n?1??3?n?1??3n?3n?2；32

1111?11?2；an?23n?3n3nn?13?nn?1??1?111111?1007原式=??．

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?3?233420152016?6048

7.解：由题意可得原方程若仅有唯一的实数解，则x?0；.

将x?

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0代入原方程可得a?

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；其中a

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∴a?8.0

222?????解：原式=?2?x?2??3?y?5??43?z?3??5?60．??????

x??2??∴?y?5，∴x?y?z?0．

?z?3?

9.120???

解：∵AD?CD?BC；

∴设?DAC??DCA?x，?CDB??CBD?y；

则?ADC?180??2x，?DCB?180??2y；

∵?ADB??ACB?180??2x?y??180??2y?x??180?；??

∴x?y?60?；

?DAB??CBA?360???ADC??DCB?2?x?y??120?；

∴?CBA?120???．

10.81解：Snn(n?1)，对于2015的任意一个正约数d，易知在1?2015中，2

2015恰有一个n满足n是d的倍数，且n?1是的倍数.即2015的每个约数都会d

产生一个n，使得Sn是2015的倍数.由于2015?5?13?31，因此2015共有8个约数，故所求结果为8．

11.解：(1)当PQ∥x轴时，点P与点Q关于y轴对称；

?OPQ为等腰直角三角形，OM?MQ；设Q?m,m?，代入y?x可得，m?1；2

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∴OM?m?1；

∴O点到PQ的距离为1；

(2)设P?a,a2?,Q?b,b2?；

则直线PQ的解析式为y?a?b?x?ab；?

直线OP的解析式为y?ax；

直线OQ的解析式为y?bx；

∵OP?OQ；

∴ab??1；

∴直线PQ的解析式为y?a?b?x?1；?

∴直线PQ必过定点M?0,1?；∴当PQ∥x轴时，O点到PQ的距离的最大值为1。

12.解：?x2?5?2x?1??2pn?

显示x2?5＞2x?1,2x?1为奇数；x2?5∴为整数；2x?1

1x2x?521?1211?∴2x?12x?12x?142x?14?2x?1??2

∴x可取1,3,10；

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x?1x?3????验证得：?n?2或?n?2；

?p?3?p?7??

∴x?n?p?6或12．

13.解：延长I1I2分别与BD、AC交于点E、F，设BD、AC相交于点G；11∵?DI1C?90??DAC?90??DAC??DI2C；22

∴D、I1、I2、C四点共圆；

∴?DI1E?180???DI1F??DCI2，?CI2F?180???CI2E??CDI1；

∴?GEF??EDI1??DI1E

??ADI1??ADB??DCI2

1??ADC??BCD???ADB；2?GFE??FCI2??FI2C??BCI2??BCA??CDI11??ADC??BCD???ADB；2∴?GEF??GFE；

∴GE?GF；

∵GI3平分?AGB；

∴GI3?EF。

14.解：如果一共有13个数，则可排列如下：

a1,a2,a3,?,a8,a9,a1,a2,a3,?,a8,a9,

a2,a3,a4,?,a9,a10,a2,a3,a4,?,a9,a10,

a3,a4,a5,?,a10,a11,a3,a4,a5,?,a10,a11,

a4,a5,a6,?,a11,a12,a4,a5,a6,?,a11,a12,

a5,a6,a7,?,a12,a13.a5,a6,a7,?,a12,a13.

由已知，其中每行数之和为正，从而表中所有数之和为正；另一方面，表中每列数之和为负，从而表中所有数之和为负，矛盾。这说明满足要求的数串至多有12项。

考察如下的一串数字：

?4、?4、?4、15、?4、?4、?4、?4、15、?4、?4、?4

这一串数满足题中要求且有12项，故知满足题中要求的n的最大值为12．

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