基于结构张量场拟合的图像恢复方法

２０１１年１２月

第３８卷第６期。坝瓜ＮＡＩ，０ＦⅪＤ圳Ｉ肌ｖＥＩ玲ｎＹ丙安电ｆ科技犬学学报（自然科学版）Ｄｅｃ．２０１１Ｖ０１．３８Ｎｏ．６ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１０４００．２０１１．０６．Ｏｌｌ

基于结构张量场拟合的图像恢复方法

王旭东，冯象初，白键

（西安电子科技大学理学院，陕西西安７１００７１）

摘要：提出了一种新的图像恢复模型．首先对含噪图像进行各向异性扩散，求得光滑后图像的张量场，

然后对求得的张量场和噪声图像进行拟合重构．从而克服了各向异性扩散和结构张量的缺点．数值实验

表明，本模型在降低图像噪声的同时，能够更好地保留图像的边缘和纹理．

关键词：图像去噪；各向异性扩散；结构张量；加性算子分裂

中图分类号：ＴＮ９１１．７３；０１７５．２文献标识码：Ａ文章编号：１００１?２４００（２０１１）０６枷６８川

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅＮｏＶｅｌｉｍａｇｅｒｅｓｔｏｒａｔｉ蚰ｍｅｔｈｏｄ稍ｔｈ

ＷＡＮＧｘＩＬｄｏｎｇ，ＦＥＮＧｔｅ哪ｏｒ６ｔｔｉｎｇｘｉｃｍｇｃ｝ｎｌ，ＢＡＩ】ｊ舭

ｆｉｅｌｄｉｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｆｔｅｒ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ｘｉｄｉａｎＵｎｉｖ．，Ｘｉ’跚７１０ｃｒ７ｌ，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｏｖｅｌｍｏｄｅｌ“ｉｍａｇｅ陀ｓｔｏｒａｔｉｏｎｉ８ｐｍｐｏｓｅｄ．ＴｈｅｓｔｎＩｃｔｕｒｅｔｅｎｓｏｒ

ｓｍｏｏｔｈｉｎｇｔｈｅｎｏｉｓｅｄｉｍａｇｅ

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ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ｉｍａｇｅｄｅｎｏｉ８ｉｎｇ；痂ｓｏｔｍｐｉｃｄｉ跏ｓｉｏｎ；ｓｔｍｃｔｕｒｅｔｅ璐ｏｒ；ａｄｄｉｔｉｏｎａｌｏｐｅｍｔ叫ｓｐｌｉｔｔｉｒＩｇ

图像去噪是图像处理的重要研究内容之一．噪声图像的一般模型为

“ｏ＝，＋叩，（１）

其中，，是待恢复的真实图像；叼是图像中所加的噪声．论文把噪声限制为零均值高斯白噪声，也就是任一像素所加的噪声服从独立同分布的均值为Ｏ，标准差为盯的正态分布．

基于扩散偏微分方程的变分法在去噪的同时能够保持边缘等重要细节，因而受到人们的重视．最经典的模型是Ｐｅｒｏｎａ和Ｍａｌｉｋ提出的Ｐ—Ｍ扩散方程…

ａⅡ／ａｆ＝ｄｉｖｌｇ（１ｖ“１）ＶＨ），（２）

其中，扩散系数ｇ（ＩｖＨＩ）是关于ＩｖＭＩ的非增的单调函数，该模型在边缘处实行弱扩散，在平滑区域实行强平滑，使得该模型将图像的边缘检测与滤波进行有机的结合．但由于梯度算子对噪声敏感，导致Ｐ—Ｍ模型利用梯度模检测边缘的稳定性较低［２引，更为严重的是该模型在数学上是病态的，其解的存在惟一性得不到解决．

Ｒｕｄｉｎ．Ｏｓｈｅ卜Ｆａｔｅｍｉ（ＲＯＦ）提出了全变差正则化（ＴｏｔａｌＶａＪｉａｔｉｏｎ，ＴＶ）模型Ｈｏ

ｕ＝ａｒｇ理‰ｉ…。。＋Ａ忆一ｎ。嵫Ｊ，

其中，ｌＭ（３）Ｉ。。为ＢＶ空间的半范数．该模型可以有效去除图像的噪声，其解允许存在边缘等灰度不连续的信

息．但在降噪过程中会导致“阶梯效应”，即由分片常数带来的块状结构．

基于结构张量的图像恢复方法是一种考虑图像梯度局部变化的图像处理方法．ｗｅｉｃｋｅｒｔ模型（结构张量收稿日期：２０ｌＯ伪艟网络出版时间：２０ｌｌ彤埘

基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０８７２１３８）；西安电子科技大学基本科研业务费资助项目（７２１０５３７０）

作者简介：乇旭东（１９７３一），男，西安电子科技大学博士研究生，Ｅ—ｍａｉｌ：ｘｕｄｗａｎｇ＠ｍａｉｌ．ｘｉｄｉｎ．ｅｄｕ．ｃｎ．

网络出版地址：ｈｌｌｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎ∥ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉＬ，６１．１０７６．ＴＮ．２０１１０５２４．１５１６．２０ｌ１０６．７９＿１０６３．ｈｔＩｌＩｌ

万方数据

第６期王旭东等：基于结构张量场拟舍的图像恢复方法

模型）∞４ｏ是Ｐ—Ｍ模型的发展，其具体表达形式为

ａｕ／ａ￡＝ｄｉｖ（ＤＶ“），（４）

其中，Ｄ为扩散张量．结构张量是利用图像梯度导出的矩阵表示包含了局部邻域的结构信息．借助于这些信息，结构张量可以区分图像中的不同结构，如边缘，边角旧ｊ等，而且不会出现上升边缘和下降边缘的梯度相互抵消的情况．但结构张量是通过线性平滑得到的，高斯平滑中使用的局部邻域的大小和形状是固定的，并没有随信号数据的变化而变化，导致在估计靠近边界或是两个不同区域像素的方向时容易受到模糊信息的干扰．

文献［９—１１］利用两步法进行去噪．首先，利用总变差最小化平滑水平曲线的方向场（法向场或切向场）；然后，拟合前面得到的方向场求得光滑图像．两步法能够保留图像的边缘，去噪后的图像平滑区域过度自然，可以抑制图像的“阶梯效应”，并且信噪比也有所提高．在两步法的基础上，笔者提出了基于平滑图像的结构张量拟合图像去噪方法．先利用各向异性扩散平滑图像得到光滑后的结构张量，再利用得到的张量场拟

‘

合逼近去噪图像．数值实验表明，该方法是有效性的．

水平曲线方向场的平滑

方向场的平滑一。是利用总变差最小化来平滑水平曲线的方向场．设

铲尚＝（尚，尚）

表示噪声图像的水平曲线单位法向量．通过能量泛函最小，即㈣

露协｛ＬＶ露Ｉ以ｄ），＋舍ＬＩ露一ｎ。Ｉ２以ｄ），）

真项，Ａ是正则项和保真项的平衡参数．

文献［１０］对噪声图像的切向场平滑，采用能量泛函最小，即，（６）求得光滑的单位法向场甩．式（６）的第１项是正则项，是图像的水平曲线单位法向量甩的总变差；第２项是保

删ｎ０｛ＬｒＩ血ｄｙ＋害ＬＩ丁一％Ｉ２以ｄ），）Ｖ，（７）

求得光滑的切向场ｒ，这里％＝Ｖ１Ｍ。＝（誓，一誓）．、ｄ１，ｄ暂，

文献［１１］改进了文献［９一ｌＯ］的方法，首先把噪声图像的水平曲线法向场单位化，由开＝（ｃｏｓｐ，ｓｉｎｐ）把式（６）转化成

。删‰｛ＬＤ—Ｊ出妙＋拿Ｌ

口。表示噪声图像水平曲线法向角．ｐ一吼ｌ２出ｄ），），（８）

上述算法无论是采用单位化水平曲线方向场平滑还是直接水平曲线方向场平滑，以及水平曲线法向角的平滑，其实质都是先对噪声图像求梯度，再进行水平曲线的方向场平滑．但是求导运算会加大噪声强度‘１２１，文献［１３］提出首先对噪声图像利用ＲＯＦ模型去噪，求得

肛尚＝（尚，揣），

再对得到的方向场进行拟合得到去噪的图像，并在此基础上发展成迭代正则化方法．

本文首先对噪声图像进行各向异性扩散，求得光滑图像的结构张堵场，再对得到的张量场进行拟合．本方法克服了Ｐ—Ｍ模型的边缘和小的结构丢失问题；避免了在估计靠近边界或两个不同区域的像素的方向时模糊信息的干扰．ｈｔｔｐ：／／、＾～＼～＼，．ｘｄｘｂ．ｎｅｔ

万方数据

７０

西安电子科技大学学报（自然科学版）

第３８卷

２新模型及其离散格式

２．１

基于各向异性图像扩散的平滑张量场计算

首先对噪声图像进行平滑，然后求平滑图像的张量场．采用Ｐ—Ｍ模型对噪声图像进行平滑：

、

ｕ。＝ｄｉｖ《ｃ（ｚ，，，）Ｖ“）

其初始条件ｕ＝‰，扩散强度由或者

决定，常数Ｋ和噪声的方差有关．

，

（９）

，

ｃ（戈，ｙ）＝ｅｘｐ（一（Ｌ掣）２）

ｃ（Ⅵ）：ｌ／『１＋ｆ皿山２１

（１０）

‘

（１１）

’

计算得到光滑图像Ⅱ后，进一步得到结构张量矩阵膨＝Ｉ。５

ＬⅡｘＭｙ

。７１．

ｕｙ“ｙＪ

各向异性扩散实质上是一个微分迭代的过程．迭代次数过少，不能有效地抑制噪声；反之，迭代次数过多，会导致过平滑．图像中存在的噪声，会使边缘定向算子不能正确地对边缘定向，导致各向异性扩散在去除噪声的同时不可避免地使边缘和小的结构丢失．另外各向异性扩散方程只是考虑到图像中的位置信息，根据该位置的梯度模大小来决定该位置上扩散系数的大小，并没有用到该位置上梯度的方向信息．在本文中，为

了有效地去除噪声，在平滑去除噪声过程中进行了较多的迭代，从而保留了图像大的结构．

２．２

基于光滑结构张量场拟合的图像重构

利用２．１节得到的光滑张量场拟合去噪图像．在本文中不使用高斯平滑，从而避免在估计靠近边界或两个不同区域的像素的方向时受到模糊信息的干扰．由于结构张量不会出现上升边缘和下降边缘的梯度相互抵消的情况，因此，利用光滑结构张量场拟合可以增强图像的边缘，并找回部分信息，而且能达到去噪的目

的．相应的模型为

Ｅｃ，，＝ａｒｇ

ｒ呼ｎ｛Ｌ（１Ｉ【ＺＺＺＺ】一【：！：：：：：：】ｌｌ：＋Ａ

“ｎ

Ｍ

Ｍ

Ｉ，一“。ｌ

２）出ｄｙ）

．

，

ｃ－２，

其中，¨忆是矩阵的Ｆ范数；Ａ是平衡参数．显然Ａ＝ｏ就是各向异性扩散的结果．式（１２）对应的Ｅ—Ｌ方程是

ｄｉＶ（【２ＺＺ乏】Ｖ，）一ｄｉＶ（【：：：：：：：：】Ｖ０＋Ａ

对扩散矩阵进行归一化处理：

ｃｕ。一，，＝。

ｃ－３，

生生生生…Ｖ川Ｅ…Ｖ川Ｅ生生生生…Ｖ川％…Ｖ川Ｅ

—ｄｉ

…Ｖｕ㈨

Ｕ“

…Ｖｕ懈

＋Ａ（ｕｏ—Ｊ）＝Ｏ

Ⅱ“ＺＺ

，

（１４）

…Ｖｕ吣…Ｖｕ吣

其中，…Ｖ川Ｅ＝吧警｛（￡＋Ｅ）。），…ＶⅡ㈨＝黑ａｘ｛（“：＋“；）。．。）．引入虚拟时间变量￡，得

矧黼堋带舢击（揣堋揣Ｌ）＋

去（揣堋揣堋揣堋揣Ｌ卜。川川５，

式（９）的离散化

ｈｔｔｐ：／／、＾～＼～１，．ｘｄｘｂ．ｎｅｔ

２．３数值离散化

下面给出式（９）、（１５）的具体离散方法．

２．３．１

式（９）的离散可以采用显式方案，也可以采用半隐式方案．文献［１４］给出了扩散方程的３种半隐式的快

万方数据

第６期王旭东等：基于结构张量场拟合的图像恢复方法７ｌ速算法．而各向异性扩散的显式方案在时间步长￡＜０．２５的情况下是稳定的¨“．式（９）的时间维采用前向差分格式，而右端采用中心差分格式．对于散度算子采用“半点”离散化格式．

芷乇』＝熹［ｃ（戈，，，）击Ⅱ“】＋未【ｃ（石，ｙ）导Ⅱ８】一

瓦≥【ｃ（ｚ＋等，ｙ）（Ⅱ“（菇＋缸∽一ｕｕ∽）一ｃ（戈一譬，ｙ）‘

（Ⅱ４（戈∽一ｕ“（戈一缸∽）】＋五奇【ｃ（戈，ｙ＋等）（““（戈，ｙ＋甜）一

“ｕ，ｙ））一ｃ（”一譬）（“ｕ，），）爿（Ⅵ一耐））］．（１６）

其中，ｃ（ｚ±等，ｙ）＝韭些掣型盟小ｙ±等）＝亟丛譬型盟．

２．３．２式（１５）的离散化

显式差分格式求解微分方程稳定性一般较差，要得到稳定的显格式，时间步长必须很小．而隐格式的稳定性比显格式好，时间步长可以适当取大一些．本文采用ｗｅｉｃｋｅｒ等人提出的半隐差分格式加性算子分裂ｆ６］算法（ＡｄｄｉｔｉｏｎａｌＯｐｅｒａｔｏｒＳｐｌｉｔｔｉｎｇ，ＡＯｓ）来离散式（１５）．即将二维扩散算子的逆分解成两个一维扩散算子逆的和，在每个坐标轴上分别是一维扩散，而一维扩散算子对应矩阵是对角占优的三对角矩阵，可以用追赶法快速求解．ＡＯＳ算法是稳定的‘６１．式（１５）改写成

击（揣蚓黼蚓揣堋黼ｅ）训圹ｎ∽，

∥埘ｚ击（褊∽川一△ｚ（熹（褊蚓褊ｅ）＋击（揣堋蒜蚓揣蚓揣ｅ卜。州）∥垅ｔ芳（褊㈣；＋１）一△ｔ（击（褊蚓糯ｅ）＋未（揣蚓揣蚓揣蚓黼ｅ卜。卅）

采用中心差分格式离散微分的计算，可得到第ｎ＋１步的图像为，“＝（贯“＋罡“）／２．矧揣∥）＋专（褊引＋击（器堋褊，＝）＋

３数值实验

对提出的模型与各向异性扩散、结构张量边缘增强扩散、Ｔｖ．ｓｔｏｋｅｓ方法和一步迭代正则进行比较．ｒＩ’、，．Ｓｔｏｋｅｓ的去噪方法一＇１１ｏ要优于一些常用的方法，这些方法包括ＴＶ模型，四阶ＰＤＥ去噪模型等．比较本文和文献［１１］的去噪效果，用峰值信噪比（ＰＳＮＲ）来衡量去噪效果，相应定义为

ＰｓＮＲ（／，ｇ）＝１０ｌｇ《２５５２／ｌｌ厂一ｇＩｌ２），（１９）

其中，．厂是恢复的图像；ｇ是真实图像．表１是５个常用测试图像去噪结果的峰值信噪比．

实验１本文方法和各向异性扩散的去噪比较．

对Ｂａｒｂａｍ图像加入标准差为２０的高斯白噪声，用各向异性扩散和本文方法进行去噪．ｈｔｔｐ：／／、＾，、＾，ｖｖ．ｘｄｘｂ．ｎｅｔ

万方数据

西安电子科技大学学报（自然科学版）第３８卷

ｄＢ表１峰值信噪比比较

图１显示了两种方法的数值实验结果以及纹理细节，图１（ａ）为Ｂａｒｈ一原图，图１（ｂ）为带有标准差２０高斯白噪声图像，图１（ｃ）为本文方法对噪声图像的处理结果，图１（ｄ）为各向异性扩散方法的去噪效果，图ｌ（ｅ）为原图细节，图ｌ（ｆ）为本文方法裤子的纹理细节，图１（ｇ）为各向异性扩散裤子的纹理细节．从图ｌ可以看出，本文方法去噪效果较明显，更为重要的是本文的方法对裤子纹理的处理效果较好．本文方法第１步迭代８次，第２步Ａ＝１．６５，达到的峰值信噪比是２７．０１９１ｄＢ．各向异性扩散（迭代７次）达到的峰值信噪比是２５．６３９０ｄＢ．

图ｌ本文方法和各向异性扩散的去噪比较

实验２本文方法和结构张量边缘增强的去噪比较．

对Ｓｈａｐｅ图像加人标准差为２０和３０的高斯白噪声进行数值实验，结果如图２所示．在计算过程中，噪声标准差为２０时本文方法第１步迭代９次，Ａ＝４（见图２（ｃ））；噪声标准差为３０时本文方法第１步迭代１３次，Ａ＝４（见图２（ｆ））．在利用结构张量法去噪时，虽然大的边缘被保留住了，但是，细小的边缘信息在扩散的过程中逐渐变模糊了．图２（ｄ）是噪声标准差为２０的结构张量处理结果，图２（ｇ）是噪声标准差为３０的结构张量处理结果）．本文方法边缘保持比较好，并且峰值信噪比有显著的提高，相关数据见表１．此实验也表明本文的方法是稳定的．

实验３本文方法和ＴＶ．ｓｔｏｋｅｓ方法的比较．

图３是对ｋｎａ图像加入标准差为２０的高斯白噪声后的数值实验，图３（ａ）为原图，图３（ｂ）为噪声图，图３（ｃ）为本文的去噪结果，其中＾＝１．６５．图３（ｄ）为文献［１１］的去噪结果．本文方法能很好地保留图像的细节，并且帽子纹理去噪后更清晰一些，表１的峰值信噪比数据也表明了新方法的有效性．实验４本文方法和一步迭代正则方法的比较．

万方数据