中学数学竞赛讲座及练习第35讲归纳与发现
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中学数学竞赛讲座及练习第35讲归纳与发现
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第三十五讲 归纳与发现
归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法,也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段.这里的归纳指的是常用的经验归纳,也就是在求解数学问题时,首先从简单的特殊情况的观察入手,取得一些局部的经验结果,然后以这些经验作基础,分析概括这些经验的共同特征,从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法.下面举几个例题,以见一般.
例1 如图2-99,有一个六边形点阵,它的中心是一个点,算作第一层;第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点);第三层每边有三个点,?这个六边形点阵共有n层,试问第n层有多少个点?这个点阵共有多少个点?
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分析与解
第一层有点数:1;
第二层有点数:1×6;
第三层有点数:2×6;
第四层有点数:3×6;
??
第n层有点数:(n-1)×6.
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因此,这个点阵的第n层有点(n-1)×6个.n层共有点数为
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例2 在平面上有过同一点P,并且半径相等的n个圆,其中任何两个圆都有两个交点,任何三个圆除P点外无其他公共点,那么试问:
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(1)这n
(2)这n
分析与解 中,设以P点为公共点的圆有1,2,3,4,5个(取这n个特定的圆)18.1.
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由表18.1易知
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S2-S1=2,
S3-S2=3,
S4-S3=4,
S5-S4=5,
??
由此,不难推测
Sn-Sn-1=n.
把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加,就得到
Sn-S1=2+3+4 因为S1=2,所以
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对Sn-Sn-1=n,即Sn=Sn-1+n的正确性略作说明. 下面
因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数,当再加上一个圆,即当n个圆过定点P时,这个加上去的圆必与前n-1个圆相交,所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分,加在Sn-1上,所以有Sn=Sn-1+n.
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(2)与(1)一样,同样用观察、归纳、发现的方法来解决.为此,可列出表18.2.
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由表18.2容易发现
a1=1,
a2-a1=1,
a3-a2=
a434=4,
??
an-1-an-2=n-2,
an-an-1=n-1.
n个式子相加
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注意 请读者说明an=an-1+(n-1)的正确性.
例3 设a,b,c表示三角形三边的长,它们都是自然数,其中a≤b≤c,如果 b=n(n是自然数),试问这样的三角形有多少个?
分析与解 我们先来研究一些特殊情况:
(1)设b=n=1,这时b=1,因为a≤b≤c,所以a=1,c可取1,2c=1,则得到一个三边都为1的等边三角形;若c≥2,由于a+b=2,那么c,这时不可能由a,b,c构成三角形,可见,当b=n=1
(2)设b=n=2,类似地可以列举各种情况如表18
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1+2=3.
(3)设b=n=3,类似地可得表18.4.
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