高中数学竞赛 平面几何讲座第5讲 三角形的五心

第五讲 三角形的五心

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.

一、外心.

三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.

例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交

AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) AP分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP =NC，故点M是△P′BP的外心，点

N是△P′PC的外心.有 11BC ∠BP′P=∠BMP=∠BAC， P22

11 ∠PP′C=∠PNC=∠BAC. 22

∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC.

从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上. 由于P′P平分∠BP′C，显然还有

P′B:P′C=BP:PC.

例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS，△BQP，

△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.

(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

A分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，

△CSQ的外心，作出六边形 KO1PO2QO3S后再由外

心性质可知 OBC ∠PO1S=2∠A， Q

∠QO2P=2∠B，

∠SO3Q=2∠C.

∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+

∠O2QO3+∠O3SO1=360°

将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可

得△O1O2O3≌△O1KO3.

1 ∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K 2

1 =(∠O2O1S+∠SO1K) 2

1 =(∠O2O1S+∠PO1O2) 2

1 =∠PO1S=∠A； 2

同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.

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二、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每

条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.

例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△

PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.

(第26届莫斯科数学奥林匹克) A分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB A'，BC相交.从A，C，D，E，F分别 E作该直线的垂线，垂足为A′，C′， D′，E′，F′. BCP 易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+ ∴EE′=DD′+FF′.

有S△PGE=S△PGD+S△PGF.

两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.

例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成

的新三角形相似.其逆亦真.

分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G

为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.

(1)a2，b2，c2成等差数列?△∽△′.

若△ABC为正三角形，易证△∽△′.

不妨设a≥b≥c，有

12a2?2b2?c2， CF=2

12c2?2a2?b2， BE=2

12b2?2c2?a2. AD=2

将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得

CF=333a，BE=b，AD=c. 222

3a:b:c 222 ∴CF:BE:AD =

=a:b:c.

故有△∽△′.

(2)△∽△′?a2，b2，c2成等差数列.

当△中a≥b≥c时，

△′中CF≥BE≥AD.

∵△∽△′，

∴S?'CF2＝(). aS?

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据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的3”，有4

S?'3=. S?4

CF23 ∴2=?3a2=4CF2=2a2+b2-c2 4a

?a2+c2=2b2.

三、垂心

三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.

例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为

△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.

(1992，全国高中联赛) 1A分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径

为R.由△A2A3A4知 A2H1=2R?A2H1=2Rcos∠A3A2AA43sin?A2A3H14

由△A1A3A4得

A1H2=2Rcos∠A3A1A4.

但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.

易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 AH， ∥=12

故得H1H2 ∥ AA.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点=21

成中心对称.

同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.

故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.

例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆

心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.

求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.

(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) B21A分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设 EA2A1BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外 接圆半径为R，⊙H的半径为r. BC1 连HA1，AH交EF于M. AA12=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2

2B1=r2+(AM2-MH2)， ①

11 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 22

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=AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2

2 =cosA·bc-AH， ②

AH 而=2R?AH2=4R2cos2A, sin?ABH

a=2R?a2=4R2sin2A. sinA

∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③

由①、②、③有

b2?c2?a2

AA=r+·bc-(4R2-a2) 2bc2

121222(a+b+c)-4R2+r2. 2

1同理，BB12=(a2+b2+c2)-4R2+r2， 2

1CC12=(a2+b2+c2)-4R2+r2. 2

故有AA1=BB1=CC1.

四、内心

三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：

设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′

C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).

D例7．ABCD为圆内接凸四边形，取

△DAB，△ABC，△BCD， C

△CDA的内心O1， O2，O3，

O4.求证：O1O2O3O4为矩形. (1986，中国数学奥林匹克集训题)

BA证明见《中等数学》1992；4

例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于EO内切.试证：EF

中点P是△ABC之内心.

(B·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)

分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增

加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？

如图，显然EF中点P、圆心Q中点K都在∠BAC平分线上.易知

rAQ=. sin?AM

∵QK·AQ=MQ·QN， =E

MQ?QN ∴QK= AQ

(2R?r)?r ==sin??(2R?r). r/sin?

由Rt△EPQ知PQ=sin??r. BNCK

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∴PK=PQ+QK=sin??r+sin??(2R?r)=sin??2R. ∴PK=BK.?

利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.

五、旁心

三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.

例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2p.

式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，

p表示半周.

(杭州大学《中学数学竞赛习题》)

分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性：

p(p-c)=(p-a)(p-b).

11∵p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c) cK22O31O2 =[(a+b)2-c2] 4rbE1 =ab； aC2O111(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c) 22

11 =[c2-(a-b)2]=ab. 42

∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ① 观察图形，可得

ra=AF-AC=p-b，

rb=BG-BC=p-a，

rc=CK=p.

1而r=(a+b-c) 2

=p-c.

∴r+ra+rb+rc

=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p

=4p-(a+b+c)=2p.

由①及图形易证.

例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△

ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：r1rr·2=. q1q2q

(IMO-12)

分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知

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