高中数学竞赛 平面几何讲座第4讲 四点共圆问题

第四讲 四点共圆问题

“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P89定理和P93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，

N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.

(第19届美国数学奥林匹克)

分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. Q欲证M，N，P，Q四点共圆，须证

C′MK·KN＝PK·KQ，

即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′) B2222

或MC′-KC′=PB′-KB′ . ①

不难证明 AP=AM，从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2

=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2)

=KC′2-KB′2. ②

O由②即得①，命题得证.

例2．A、B、C三点共线，O点在直线外，

O1

O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，

O2△OCA的外心.求证：O，O1，O2， 3

O3四点共圆.

A(第27届莫斯科数学奥林匹克) BC

分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察△OBC

1

及其外接圆，立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，

2

1

立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA.

2

由∠OO2O1=∠OO3O1?O，O1，O2，O3共圆.

利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段

这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM

＝∠CBK.

求证：∠DMA＝∠CKB.

CD

（第二届袓冲之杯初中竞赛）

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KAMB

分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM，

有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC

＝180°，

∴∠CMK+∠KDC＝180°.

故C，D，K，M四点共圆?∠CMD＝∠DKC.

但已证∠AMB＝∠BKA，

∴∠DMA＝∠CKB.

A(2)证线垂直

例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB， KBC交于K，N(K与N不同).△ABC

外接圆和△BKN外接圆相交于B和 BM.求证：∠BMO=90°. M(第26届IMO第五题)

分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件

和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的.

连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=

∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+

∠BMK=180°-∠CMK，

∴∠COK+∠CMK=180°?C，O，K，M四点共圆.

在这个圆中，由

OC=OK? ?∠OMC=∠OMK.

但∠GMC=∠BMK，

故∠BMO=90°.

(3)判断图形形状

例5．四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记

为IA，IB，IC，ID.

试证：IAIBICID是矩形.

(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题) 分析：连接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得

11IBIA∠AICB=90°+∠ADB=90°+ C22

∠ACB=∠AIDB?A，B，ID，IC四点

共圆.

A同理，A，D，IB，IC四点共圆.此时

1∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC， 2

1∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC， 2

∴∠AICID+∠AICIB

1=360°-(∠ABC+∠ADC) 2

1=360°-×180°=270°. 2

故∠IBICID=90°.

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同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.

(4)计算

例6．正方形ABCD的中心为O，面积为1989㎝2.P为正方形内

一点，且∠OPB=45°，PA:PB=5:14.则PB=__________

(1989，全国初中联赛) CD分析：答案是PB=42㎝.怎样得到的呢？

连接OA，OB.易知O，P，A，B 四点共圆，有∠APB=∠AOB=90°. 故PA2+PB2=AB2=1989.

BA由于PA:PB=5:14，可求PB.

(5)其他

例7．设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大

的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).

(1978，全国高中联赛)

分析：设△EFG为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶

点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组

AE对边上. D 作正△EFG的高EK，易知E，K，G，

D四点共圆?∠KDE=∠KGE=60°.同 G理，∠KAE=60°.故△KAD也是一个正 F三角形，K必为一个定点. CB

又正三角形面积取决于它的边长，当KF丄AB时，边长为1，这时边长

最小，而面积S=也最小.当KF通过B点时，边长为2·2?，这4

时边长最大，面积S=23-3也最大.

例8．NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，P为上异于N的任一点，PS

交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q.求证：RS＞MQ.

(1991，江苏省初中竞赛)

分析：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交⊙O于Q′.连接

MQ′，SQ′.

易证N，M，R，P四点共圆，从而，∠SNQ′=∠MNR=

∠MPR=∠SPQ=∠SNQ.

根据圆的轴对称性质可知Q与Q′关于NS成轴对称?MQ′=MQ. 又易证M，S，Q′，R四点共圆，且RS是这个圆的直径(

∠RMS=90°)，MQ′是一条弦(∠MSQ′＜90°)，故RS＞MQ′.但MQ=MQ′，所以，RS＞MQ.

练习题

1.⊙O1交⊙O2 于A，B两点，射线O1A交⊙O2 于C点，射线O2A

交⊙O1 于D点.求证：点A是△BCD的内心.

(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2

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四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)

2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.

(提示：设法证∠ABA1与∠ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是△ABC的外接圆上，并注意∠A1AA2=90°.) 3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：△M1M2M3也是正三角形.

4.在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD. (提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)

5.AD，BE，CF是锐角△ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)

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