2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案

2015年浙江省高中数学竞赛试卷,包含了所有题的详细解答。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后

的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）

x2y2

1．“a=2，b ”是“曲线C：2 2 1(a,b R,ab 0)经过点

ab

A．充分不必要条件

C．充分必要条件答案：A.

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

”的(A)．

x2y2

解答：当a=2，b 曲线C：2 2 1经过

ab

点

x2y2

；当曲线C：2 2 1经过

ab

时，即有

21

2 1，显然a 2,b 也满足上式。所以“a=2，b ”2

ab

x2y2

是“曲线C：2 2 1经过点

ab

”的充分不必要条件。

2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为m,m 1,m 2，则实数m的取值范围为(B

)．

B．1 m

A．m 1

3

2

C．

3

m 32

D．m 3

答案：B.

解答：由题意可知：

m (m 1) m 23

解得1 m 。 222

2 (m 2) m (m 1) m(m 1)

3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点，

则二面角M-CD1-A的余弦值为(C)．

第3题图

答案：C.

A．

B．

12

C．

D．

解答：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则

1

D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,)

2

，且平面

ACD1的法向量为

，即二面角n1 (1,1,1)，平面MCD1法向量为n2 ( 1,2,2)。因此cos n1,n2 3

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M-CD1-A

。C

)．

a b 2 0

a 2b

4．若实数a,b满足 b a 1 0，则的最大值为(

2a b a 1

A．1答案：C.

解答：由a,b满足的条件知1

B．

54

C．

75

D．2

a 2b37b13

2 ，当(a,b) (,取等 3，所以

52a ba222 a

号。

5．已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则

S PQRS ABC

14

的最小值为(D)．

11

B．

23参考答案：D.

解答：如图5-1所示，

A．

C．D．

15

A

A

PH

R

PB

Q图5-1

C

R图5-2

Q

BC

（1）当 PQR的直角顶点在 ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，

APR CQR 180 BQR,所以sin APR sin BQR.在 APR, BQR中分别应

用正弦定理得

PRARQRBR

.又 A B 45,故PR QR,故 ,

sinAsinAPRsinBsinBQR

AR BR即R为AB的中点.

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S PQR1

过R作RH AC于H，则PR RH BC,所以

S ABC2

时

1

(BC)2

PR1 ,此BC2BC24

2

S PQRS ABC

的最大值为

1

.4

（2）当 PQR的直角顶点在 ABC的直角边上，如图5-2所示，设

BC 1,CR x(0 x 1), BRQ (0

在Rt CPR中，PR

2

,则 CPR 90 PRC BRQ .

CRx

,sin sin

x3

, RQB QRB B ,sin 4x

PQRB1 x

由正弦定理,

sinBsin PQBsinsin( )44

x111x211

，因此S PQR PR2 ( ()2.

sin cos 2sin 22sin 2cos 2sin

在 BRQ中，BR 1 x,RQ PR S PQRS ABC

(

111

2 ，当且仅当 arctan2取222

cos 2sin (1 2)(cos sin )5

的最小值为

等号，此时

S PQRS ABC

1

.5

6.已知数列 an 的通项an

nx

，n N*，若

(x 1)(2x 1) (nx 1)

DD．

)．

a1 a2 a2015 1，则实数x等于（

A．

32

B．

512

C．

9401160

答案：D.

an

(nx 1) 111

(x 1)(2x 1) (nx 1)(x 1)(2x 1) [(n 1)x 1](x 1)(2x 1) (nx 1)

2015

则

ak 1

k 1

1

1 (x 1)(2x 1) (2015x 1) 0，所以

(x 1)(2x 1) (2015x 1)

11111111

x ( 1, ( , ( , ) ( , )，经检验只有x

23420132014201560

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符合题意。

7．若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于(C)．．．．

16

17答案：C.

A．

B．

365

C．

265

D．

19653

解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a，面积为S,过P的直线的倾斜角为 (0 当过点

2

。

的直线为正方形的对边所在的直线时

，

P,Q

PQsin a RScos sin 4cos sin

S (PQsin )2

16。17

，此时正方形的面积同理，当过点P,R的直线为正方形的对边所在的直线时，S 方形的对边所在的直线时，S

36

；当过点P,S的直线为正5

196

.53

2015

8．若集合A (m,n)(m 1) (m 2) (m n) 10中的元素个数为(BA．4030B．4032答案：B.

)．

C．20152

20162015

,m Z,n N* ，则集合A

D．20162

解答：由已知得n(n 2m 1) 25，因为n,n 2m 1一奇一偶，所以n,n 2m 1两

者之一为偶数，即为22016,220165,2201652, ,2201652015共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合A共有4032个元素.

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）

9．已知函数f(x)满足f(x 1) f(1 x) 0，f(x 2) f(2 x) 0，且f() 1，则

23

1000f(

3

答案： 1.

解答：f(x 2) f(2 x) f[1 (x 1)] f[1 (x 1) f(x) f(x 4) f(x)，所以

100044112f() f(332 f() f(1 ) f(1 ) f( 1.

333333

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10．若数列{an}的前n项和Sn

n n，n N，则

3

2

*

2015i 1

1

=

ai 8i 2

答案：

2015

.6048

22*

a a 3n 5n 2,a 3n 5n 2(n N),a 0又，故 i in1i 1

i 1

n

n 1

解答：an

2015

20152015111201511

. ( ) 3i 1ii 16048i 1ai 8i 2i 13i(i 1)

11．已知F为抛物线y 5x的焦点，点A(3，1)，M是抛物线上的动点．当|MA| |MF|取最小值时，点M的坐标为答案：(

2

1

,1).5

解答：设抛物线的准线为l:x

5

.过M作l的垂线，垂足为H,则4

AM MF AM MH AH,当A,M,H三点共线时取等号，此时M的坐标为

1

(,1)。5

12．若16答案：

sin2x

16

cos2x

10，则cos4x

1.2

sin2x

解答:设t 16,1 t 16，则16cosx 161 sinx

22

1616

10 t 2,或，代入方程得t tt

t 8，即

113

sinx 或，所以cos4x 。

442

2

13.设函数f(x) min{x 1,x 1, x 1}，其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者．若

2

f(a 2) f(a)，则实数a的取值范围为

答案：( , 2) ( 1,0).

．