垂足三角形外接圆半径之间的一个恒等式

如果格点广义回形折线的同侧域不包含格点,那么其面积如何计算呢?

此时,我们可将格点系的单位长度不断二等分,直至在新的格点系中该广义回形折线的同侧域包含一个格点时为止.然后,依据上述定理求出在新的格点系下的面积 A(n)k.那么,在原格点系下,该广义回形折线的面积 A(n)k为,其中p为原格点系的单位长度被

4p

连续二等分的次数(因为格点系的单位长度每经过一次二等分,新格点系的单位面积就等于原格点系的单位面积的1/4倍).

参考文献

[1] 左宗明,世界数学名题选讲,上海科学技术出版社,

1990年4月.

[2]熊曾润,封闭折线的同侧点及其性质,中学数学, 1997(5).

∴RA=RcosA.

同理RB=RcosB,RC=RcosC.

ABC

令K=RAcot+RBcot+RCcot,

222

在△ABC中应用常见恒等式:

s2 4Rr r2

=rs,∑cotA=,

2

2

s+4Rr+r2

, ∑cscA=

2 sa+b+c

sinA=,其中, s=∑2R(用∑表示循环和,下同)得

K=R∑cosAcot=R∑cosA

A

2

垂足三角形外接圆 半径之间的一个恒等式

河北唐山市丰南区黑沿子镇中学 高庆计

1+cosA

sinAcosA+1 sin2A=R∑

sinA

=R(∑cotA+∑cscA ∑sinA)

s 4Rr rs+4Rr+rs=R(+ ),

2 2 R

2

2

2

2

关于垂足三角形外接圆半径之间有下面一个恒等式:

定理 设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的面积,外接圆半径,内切圆半径分别为 ,R,r,若△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径依次为RA,RB,RC,则

ABC+RBcot+RCcot

(2) 222

证明 在△ABC中应用恒等式: (R r)

=. (1)

rr2

∑cosA=1+.

R证明 如图, 由文[1]知EF=acosA,

rFD=bcosB,DE=

ccosC,∴RA+RB+RC=R∑cosA=R(1+),

REF

∵RA= 故 RA+RB+RC=R+r. 2sinA

acosAabc= 推论2 ++≥2sinARRRABC

2RsinAcosA(当且仅当△ABC为正三角形时取等号). , =

2sinA

RAcot

23

s2sssRrs

∴K=R( )=R( ) 2 s

rsRrRr

R =2 , rrABC(R r)

. 故 RAcot+RBcot+RCcot=

222r2

根据定理的证明过程,可以证得以下推论:

推论1 RA+RB+RC=R+r.

证明 ∵在锐角△ABC中有tanA>0, tanB>0,tanC>0且tanAtanB

tanC≥abc2RsinA∴++=∑

RARBRCRcosA

椭圆切线的几个性质

福建长乐七中 谢星恩 黄玉惠 林世中

=2∑tanA=2tanAtanBtanC≥2

故

abc++≥ RARBRC

当且仅当△ABC为正三角形时取等号.

10r2r2

2 推论3 RR

rfrrr

≤d+e+≤2(1+)2, (4) RARBRCR其中,rd,re,rf依次为△DEF的旁切圆半径(当且仅当△ABC为正三角形时取等号).

cotA

等,及证明由文(2)知rd=

R

Gerretsen不等

2222

式:16Rr 5r≤s≤4R+4Rr+3r,得

rfrdre cotA

++=∑2=2∑cscA RARBRCRcosAR

s2+4Rr+r2s2+4Rr+r2=2 =. R2 2R2s2+4Rr+r2∵

2R2

16Rr 5r2+4R2+r210r2r2≥= 2,

RR2R2

又∵(s2+4Rr+r2)/(2R2)

≤(4R2+4Rr+3r2+4Rr+r2)/(2R2)

r

=2(1+)2,

R

rfrr10r2r2rd

故 2≤+e+≤2(1+)2,

RRRARBRcR

性质1 设F为椭圆的一个焦点,其相应的准线为l,过椭圆上的一点M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.

x2y2

证明 过椭圆2+2=1(a>b

>0)上点

M(acos

x

a则Pbsinθc acosθ

,kFP=, ∴kMF=

acosθ cbsinθ

∴kMF kFP= 1,∴PF⊥MF. 性质1' 设F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上任一点(非顶点(0,0)M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.

证明 设抛物线上一点M(t2/(2p),t)(非顶点(0,0)),则

过M的切线为: t2

ty=p(x+2ppt2 p2

)∴P( ,

22t2ptt2 p2

,kFP=∴kMF=2, 2

2ptt p

∴kMF kFP= 1,∴PF⊥MF. 性质2 F1,F2是椭圆的两个焦点,若M是椭圆上异于长轴两端点的任一点,则M点的切线平分△F1MF2的外角.

x2y2

证明 设椭圆的方程为+=1(a>b

>0),过椭圆上一点M(absinθ)的切线为:

xycosθ+sinθ=1ab

当且仅当△ABC为正三角形时取等号.

参考文献

[1]李耀文.关于垂足三角形的一个恒等式.中学数学. 2004.6.

[2]高庆计.垂足三角形旁切圆半径之间的一个恒等 式.福建中学数学.2005.6. 24