【北师大版】2016秋九上期末训练(4)一元二次方程根的判别式(附答案)

^*专题训练(四) 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

类型1 一元二次方程根的判别式

1．已知一元二次方程2x²－5x＋3＝0，则该方程根的情况是(  )

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．两个根都是自然数

D．无实数根

2．关于x的一元二次方程(m－2)x²＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(  )

A．m≤3                          B．m＜3

C．m＜3且m≠2                   D．m≤3且m≠2

3．若关于x的一元二次方程ax²＋3x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______________．

类型2 一元二次方程根与系数的关系

4．(防城港中考)x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使x1(1)＋x2(1)＝0成立？则正确的结论是(  )

A．m＝0时成立                    B．m＝2时成立

C．m＝0或2时成立                D．不存在

5．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x²－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________．

6．已知一元二次方程x²－4x－3＝0的两根为m，n，则m²－mn＋n²＝________.

7．(江西中考)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S_△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程________________________________________________________________________．

8．已知方程x²－6x＋m²－2m＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m的值．

9．已知方程x²－3x＋1＝0的两根分别为x₁和x₂，不解方程：

(1)求代数式x1(2)＋x2(2)的值；

(2)试证明两根中一根大于1，另一根小于1.

类型3 一元二次方程根的判别式和根与系数关系的综合运用

10．不解方程，判别方程2x²＋3x－7＝0两根的符号．

11．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x²＋(2k－1)x＋k²＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少？

12．(泸州中考)已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²－2(m＋1)x＋m²＋5＝0的两个实数根．

(1)若(x₁－1)(x₂－1)＝28，求m的值；

(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x₁、x₂恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

参考答案

1．A 2.D 3.a＞－4(9)且a≠0 4.A 5.16 6.25 7.x²－5x＋6＝0(答案不唯一) 

8.设方程的另一个根为x₂，根据题意由根与系数关系，得x₁＋x₂＝－(－6)＝6，x₁x₂＝m²－2m＋5，
∵x₁＝2，
∴把x₁＝2代入x₁＋x₂＝6，可得x₂＝4.
∴把x₁＝2，x₂＝4代入x₁x₂＝m²－2m＋5，可得m²－2m＋5＝8.解得m₁＝3，m₂＝－1.
∴方程x²－6x＋m²－2m＋5＝0的另一根为4，m的值为3或－1. 

9.(1)由题可得x₁＋x₂＝3，x₁x₂＝1.x1(2)＋x2(2)＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝3²－2×1＝7.
(2)证明：
∵(x₁－1)(x₂－1)＝x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＝1－3＋1＝－1＜0，
∴(x₁－1)与(x₂－1)异号．若x₁－1＞0，则x₂－1＜0，
∴x₁＞1，x₂＜1，即两根中一根大于1，另一根小于1. 

10.∵2x²＋3x－7＝0，
∴Δ＝3²－4×2×(－7)＝65＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个根为x₁，x₂，
∵x₁x₂＝－2(7)＜0，
∴原方程有两个异号的实数根． 

11.∵一元二次方程x²＋(2k－1)x＋k²＋3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0.
∴(2k－1)²－4(k²＋3)＞0，即－4k－11＞0.
∴k＜－4(11).令其两根分别为x₁，x₂，则有x₁＋x₂＝1－2k，x₁x₂＝k²＋3，
∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，
∴x1(2)＋x2(2)＝5².
∴(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝25.
∴(1－2k)²－2(k²＋3)＝25.
∴k²－2k－15＝0.
∴k₁＝5，k₂＝－3.
∵k＜－4(11)，
∴k＝－3.把k＝－3代入原方程得到x²－7x＋12＝0，解得x₁＝3，x₂＝4.
∴直角三角形的两直角边分别为3和4. 

12.(1)∵x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²－2(m＋1)x＋m²＋5＝0的两实数根，
∴x₁＋x₂＝2(m＋1)，x₁x₂＝m²＋5.
∴(x₁－1)(x₂－1)＝x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＝m²＋5－2(m＋1)＋1＝28.解得m＝－4或m＝6.

又∵Δ＝[－2(m＋1)]²－4(m²＋5)＝4(m＋1)²－4(m²＋5)＝4m²＋8m＋4－4m²－20＝8m－16≥0，解得m≥2.
∴m＝6.
(2)当7为底边时，此时方程x²－2(m＋1)x＋m²＋5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m＋1)²－4(m²＋5)＝0，解得m＝2.
∴方程变为x²－6x＋9＝0，解得x₁＝x₂＝3.
∵3＋3＜7，
∴不能构成三角形．当7为腰时，设x₁＝7，代入方程得49－14(m＋1)＋m²＋5＝0，解得m＝10或4；当m＝10时，方程变为x²－22x＋105＝0，解得x＝7，或x＝15.
∵7＋7＜15，
∴不能组成三角形；当m＝4时，方程变为x²－10x＋21＝0，解得x＝3或x＝7.此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.