2017届高考理科数学二轮复习训练：2-4-1 选择题速解方法（参考解析）

1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(  )

A．y＝x＋1   B．y＝－x³

C．y＝x(1)   D．y＝x|x|

答案 D

解析 由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，所以D选项正确．

2．设全集U＝R，A＝{x∈N|2^x(x－4)<1}，B＝{x∈N|y＝ln (2－x)}，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为(  )

A．1 B．2

C．3 D．4

答案 D

解析 由条件得图中阴影部分为A∩∁_UB＝{2,3}，所以子集的个数为4.

3．(log₂9)·(log₃4)＝(  )

A.4(1)   B.2(1)

C．2 D．4

答案 D

解析 (log₂9)·(log₃4)＝lg 2(lg 9)×lg 3(lg 4)＝lg 2(2lg 3)×lg 3(2lg 2)＝4.

4．“a≥0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(－∞，0)内单调递减”的(  )

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 f(x)＝|(ax－1)x|在(－∞，0)内单调递减等价于f(x)＝0在区间(－∞，0)内无实根，分析可知a＝0或a(1)>0，也就是a≥0，故a≥0是函数f(x)＝|(ax－1)x|在(－∞，0)内单调递减的充要条件．

5．函数y＝x(log2|x|)的大致图象是(  )

答案 C

解析 由于－x(log2|－x|)＝－x(log2|x|)，所以函数y＝x(log2|x|)是奇函数，其图象关于原点对称，排除B，当x>0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.

6．已知命题p：a、b、c成等比数列的充要条件是b²＝ac；命题q：∀x∈R，x²－x＋1>0.则下列结论正确的是(  )

A．命题p∧q是真命题

B．命题p∧(┒q)是真命题

C．命题(┒p)∧q是真命题

D．命题(┒p)∨(┒q)是假命题

答案 C

解析 若b＝c＝0，满足b²＝ac，但a、b、c不成等比数列，故p为假命题；∀x∈R，x²－x＋1＝(x－2(1))²＋4(3)>0，故q为真命题．所以p∧q，p∧(┒q)是假命题，(┒p)∨(┒q)，(┒p)∧q是真命题．

7．若数列{a_n}的前n项和为S_n＝n²＋1，则向量m＝(a₁，a₄)的模为(  )

A．53 B．50

C.   D．5

答案 C

解析 依题意得，a₁＝S₁＝2，a₄＝S₄－S₃＝(4²＋1)－(3²＋1)＝7，故m＝(2,7)，|m|＝＝.

8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若sinB＋sinC＝2sinA,3a＝5c，则角B＝(  )

A．60° B．90°

C．120° D．150°

答案 C

解析 由sinB＋sinC＝2sinA可得b＋c＝2a，又3a＝5c，所以可令a＝5t，c＝3t，b＝7t(t>0)，可得cosB＝2×5×3(52＋32－72)＝－2(1)，又B∈(0，π)，故B＝120°.

9．[2015·长春高三质检二]下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A₁，A₂，…，A₁₆，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是(  )

A．6 B．10

C．91 D．92

答案 B

解析 由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.故选B.

10．[2015·大连双基]设变量x，y满足约束条件y≤3(3x＋y－6≥0)，则z＝－2x＋y的最小值为(  )

A．－7 B．－6

C．－1 D．2

答案 A

解析 可行域如图，平移直线y＝2x至过点(5,3)时，z取得最小值－7，故选A.

11．[2015·南宁第二次适应测试]一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为(  )

A．24π B．6π

C．4π D．2π

答案 B

解析 题中的几何体是三棱锥A－BCD，如图所示，其中底面△BCD是等腰直角三角形，BC＝CD＝，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝，BD＝2，AC⊥CD.取AD的中点M，连接BM，CM，则有BM＝CM＝2(1)AD＝2(1) ＝2(6)，该几何体的外接球的半径是2(6)，该几何体的外接球的表面积为4π×2(6)²＝6π，选B.

12．如图，在△ABC中，设→(AB)＝a，→(AC)＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则→(AP)＝(  )

A.2(1)a＋2(1)b B.3(1)a＋3(2)b

C.7(2)a＋7(4)b D.7(4)a＋7(2)b

答案 C

解析 如图，连接BP，则→(AP)＝→(AC)＋→(CP)＝b＋→(PR)，①

→(AP)＝→(AB)＋→(BP)＝a＋→(RP)－→(RB)，②

①＋②，得2→(AP)＝a＋b－→(RB)，③

又→(RB)＝2(1)→(QB)＝2(1)(→(AB)－→(AQ))＝2(1)→(AP)，④

将④代入③，得2→(AP)＝a＋b－2(1)→(AP)，

解得→(AP)＝7(2)a＋7(4)b.故选C.

13．[2015·洛阳统考]把函数y＝sin6(π)图象上各点的横坐标缩小到原来的2(1)(纵坐标不变)，再将图象向右平移3(π)个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(  )

A．x＝－2(π)   B．x＝－4(π)

C．x＝8(π)   D．x＝4(π)

答案 A

解析 把函数y＝sin6(π)图象上各点的横坐标缩小到原来的2(1)(纵坐标不变)所得函数图象的解析式为y＝sin6(π)，再将图象向右平移3(π)个单位所得函数图象的解析式为y＝sin6(π)＝sin2(π)＝－cos2x，即y＝－cos2x，令2x＝kπ，k∈Z，则x＝2(kπ)，k∈Z，即所求对称轴方程为x＝2(kπ)，k∈Z，故选A.

14．[2015·郑州质检]在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则→(CM)·→(CN)的取值范围为(  )

A.2(5)   B．[2,4]

C．[3,6]   D．[4,6]

答案 D

解析 记MN的中点为E，则有→(CM)＋→(CN)＝2→(CE)，→(CM)·→(CN)＝4(1)[(→(CM)＋→(CN))²－(→(CM)－→(CN))²]＝→(CE)²－4(1)→(MN)²＝→(CE)²－2(1).又|→(CE)|的最小值等于点C到AB的距离，即2(2)，故→(CM)·→(CN)的最小值为2(2)²－2(1)＝4.当点M与点A(或B)重合时，|→(CE)|达到最大，|C→(E)|的最大值为)2(2)＝2(13)，因此→(CM)·→(CN)的取值范围是[4,6]，选D.

15．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x²，则函数y＝f(x)－log₅|x－1|的零点个数是(  )

A．8 B．9

C．10 D．11

答案 C

解析 由题意知偶函数f(x)的周期T＝2.在同一坐标系下作出函数f(x)及函数φ(x)＝log₅|x－1|的图象如图所示，

结合图象可知函数零点的个数为10，故选C.

16．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为(  )

A．50,0 B．30,20

C．20,30 D．0,50

答案 B

解析 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x) ＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.

线性约束条件为y≥0，(x≥0，)即y≥0.(x≥0，)

画出可行域，如图所示．

作出直线l₀：x＋0.9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，

由4x＋3y＝180，(x＋y＝50，)求得A(30,20)．

17．已知f(x)＝x³－6x²＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：

①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.

其中正确结论的序号是(  )

A．①③   B．①④

C．②③   D．②④

答案 C

解析 ∵f(x)＝x³－6x²＋9x－abc，

∴f′(x)＝3x²－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．

令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.

依题意有，函数f(x)＝x³－6x²＋9x－abc的图象与x轴有三个不同的交点，故f(3)<0(f(1)>0)，∴0<abc<4.

∴f(0)＝－abc<0，f(1)>0，f(3)<0，故②③正确．

18．[2015·金版原创]已知函数f(x)＝kx，g(x)＝x(ln x)，若关于x的方程f(x)＝g(x)在区间，e(1)内有两个实数解，则实数k的取值范围是(  )

A.2e(1)   B.e(1)

C.e2(1)   D.，＋∞(1)

答案 A

解析 易知当k≤0时，方程只有一个解，所以k>0.令h(x)＝kx²－ln x，h′(x)＝2kx－x(1)＝x(2kx2－1)＝x(2kx＋1))，令h′(x)＝0得x＝2k(1)，x＝2k(1)为函数的极小值点，又关于x的方程f(x)＝g(x)在区间，e(1)内有两个实数解，所以，解得k∈2e(1).