学而思高一春季物理竞赛CPHO预备队第11讲

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第11讲 复杂电路（二）

本讲提纲

1. 二端无穷网络

2. 立体

3. 星三角

4. 虚拟电流分布

5. 二维无穷网格

本讲一堆奇思妙想的题，希望能启发大家的思维，希望大家不要当知识学了。尽量多想一下为什么可以这么做。

【例1】如图所示的网络中，仅知道部分支路上电流值及其方向、某些元件参数和支路交点的电势值（有关数值及参数已标在图上）．请你利用所给的有关数值及参数求出含有电阻Rx的支路上的电流值Ix及其方向。

【例2】如图所示的电阻丝网络含有N个正方形，网络中每一小段电阻为R，

（1） 计算N?2情景时，A、B间的等效电阻RAB。

（2） 设电流I从A流入B流出，计算N大于等于3的情景下，各条线路电流。

无穷的处理方法

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数学上对于无穷集合的定义是：存在到自己的真子集的一一映射的集合。就是说自己的一部分和自己是一样的。我们正是利用这样的性质来解决无穷问题。先恰当的描述无穷体系对外界的响应性质，然后将其和自己的一部分关联起来，计算出响应性质。或者这个步骤可能叫递推关系…或者叫XXX(某个编者记不住的人名)方程…不论怎样，反正数学定义如此，不这么做实在是逆天而行… 若x?a?a?a?a??， （a＞0）

在求x值时，x注意到是由无限多个a组成，所以去掉左边第一个a?对x值毫无影响，即

2x?a?xx?x?a?0。所以 剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为，即

x?1??4a

2

这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。

【例3】如图，每段导线间的电阻都是r，计算AB间的电阻。

A

B

【例4】如图所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为?，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框架上A、B两点间的电阻为多大？

A

【例5】如图所示为一线型电阻无限网络，每个电阻的阻值均为r.

(1)试求A、B间的等效电阻RAB. 思考：为什么AB与CD之间的电族是相等的，而电流是不等的？ 高一·物理·CPHO预备队·第11讲·学生版 讲述高端的真正的物理学

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(2)若在A、B两点接电动势为E、内阻为r的电源，第n个网格中各电阻上的电流是多少

?

立体图

【例6】六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图所示。现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为D1 、D2、┅D5。

现将D2的1、3、5三点分别与D1的2、4、6三点用导线连接，如图所示。然后将D3的1、3、5三点分别与D2的2、4、6三点用导线连接，┅ 依此类推。最后将D5的1、3、5三点分别连接到D4的2、4、6三点上。

724R。 627

2．求全部接好后，在D5上的1、3两点间的等效电阻。（16界复赛）

1．证明全部接好后，在D1上的1、3两点间的等效电阻为

【例7】如图，每边电阻都是r，计算RAB

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A

【例8】求4维立方体对角线的电阻。

星三角变换

在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y型或△，如图所示，有时把Y型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽的电压U12、U23、U31及流过的电流I1、I2、I3与△型联接的三个端纽相同。

在

Y型电路中有：

I1R1?I2R2?U12I3R3?I1R1?U31I1?I2?I3?0

可解得：

I1?

R3R2

U12?U31

R1R2?R2R3?R3R1R1R2?R2R3?R3R1

在△型电路中：

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I12?I31?

U12R12U31R31

I1?I12?I31I1?

等效即满足：

U12U31

?

R12R31

R3U12U31R2

??U12?U31R12R31R1R2?R2R3?R3R1R1R2?R2R3?R3R1

即：

R12?

R1R2?R2R3?R3R1

R3

①

R1R2?R2R3?R3R1

R31?

R2

②

R1R2?R2R3?R3R1

R1

③

R23?

①、②、③式是将Y型网络变换到△型电路中的一组变换。

同样将△型电路变换到Y型电路，变换式可由①、②、③式求得：④、⑤、⑥

R?

1

RR

R?R?R ④

12

31

12

23

31

R2?

R12R23

R12?R23?R31 ⑤

R3?

R31R23

R12?R23?R31 ⑥

【例9】试求如图所示电路中的电流。

?

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