_2012级线性代数B2答案

2012——2013学年第1学期

课程名称： 线性代数 使用班级： 2012级理工科本科 命题系别： 数学学院_ __ 命题人：

一、

a2b2c2(a 1)2(b 1)2(c 1)2(a 2)2a2(b 2)2 b2(c 2)2c2

a2=2b2

c2a2 4a

1

2a 14a 42b 14b 42c 14c 42a 11a22b 11 4b22c 11b2b1

c2

c21

a1b1c11bb2

1cc2

(3分)

(3分)

c 4a1a2

(2分)(2分)

4(c b)(c a)(b a)

D的第1列所得的行列式，即 二、A11 3A21 2A31 2A41 等于用1,3，-2,2代替

1

A11 3A21 2A31 2A41

3

221

110 51

1313 1

2 4 1 32

(4分)

26 10

0 26 10 2 1302 13

54 4

0 54 410 03 56

(2分)

1

10 8

31

48

68

(2分)

(2分)

三、

4AB 3A A(4B 3E)

123 10 A 4 0

1 24 3

0 01

0

51 001 812 111 1 A 1

2 1116

1 11

2 0201 1 11 0

11729 1 2327 339 3

BTA 1 10 11

1 2 25 11 1

341 1 11 002 5 59 860

1 10

四、 由A=0

1 1=1 0知，A可逆， 1

2

又由AC B可知，C A 1

B。于是 (3 1 1 3 1 10

(A|B)

10 01 1

|22

1023 1

01 1

0 12

1 101 3 1

01 1|22 00

10

1 010|

6 2 001 19 3 00

010|80 0016 2

8

12

1116

201 1 3

|22

4 4 1 3

80 6 2

(1分)(1分)

(2分)

(2分)

(2分)

(2分)

分)

(2分)

(1分)

(2 分)

9 3 1

所以矩阵C AB 80 (2分)

6 2

123

五、 D 2

25 15 0 (3分)

351

023103120

D1 125 21,

D2 215 6,

D3 221 3 (3251

321

352所以x1

D1D 2115 75,xD 622 2D 15 5,xD3 3

D 315 15

注：写出xD

ii D

,(i 1,2,3)可给2分

六、 由A2

A 4E 0知，A(A E) A2

A 4E (2 A 1

4(A E) E，

所以A 1

14

(A E) (2又由A2

A 4E 0得，(A 3E)(A 2E) 2E 0 (2 (A 3E) [ 1

2(A 2E)] E (或 (A 3E)(A 2E) 2E)

所以(A 3E) 1

12

(A 2E) (2七、 对增广矩阵B施行初等行变换

1 52 311 B A|b 536 1 1 1 52 311 028 414 56

2421 6 014 27 28

分)

分) 分)

分)

分)

分)

(4

1 52 311 1904 17

77

0 71 14 0 71 14 (3分) 2 2 0000 0 0 0000

R(A) R(B) 2，故原方程组有解，且对应的方程组为

x1 9x2 4x4 17

7

x3 7x2 x4 14 2

取x2 x4 0，得原方程组的一个特解 0 17,0,14,0 (3分)

T

x1 9x2 4x4

在对应的齐次线性方程组 7中，

x 7x x432 2

4

9 0 1 x2 1 0

令 与 ，得一个基础解系 1 , 2 7 (2分)

7 x4 0 1

2 0 1

4

x1 17 9

0 x012 k k 7 ,从而原方程组的通解为

x3 14 1 7 2

2 x00 1 4

(k1,k2 R) (2分)

八、(1) 记A a1,a2,a3,a4,a5 ，对矩阵A施行初等行变换：

02 334 1120 2 1120 2 A 1 20 11 1 20 11 0 12 1 1

1120 2 02 334 02 334

1120 2 104 1 3 100 5 11 0 12 1 1 01 211 01035 (3分) 00112 00112 00112

所以R(A) 3，该向量组A是线性相关的 (2分) (2) a1 (0, 1,1)T,a2 (2, 2,1)T,a3 ( 3,0,2)T为A的一个极大无关组， (3分) 且a4 5a1 3a2 a3，a5 11a1 5a2 2a3。 (2分)

1

( 1)2( 1) 0 九、 E A 1 1 x ( 1)

1

10

所以A的特征值为 1 1, 2 3 1 (3分) 对应单根 1 1，可求得线性无关的特征向量恰有1个， (2分) 故当重根 2 3 1具有两个线性无关特征向量时，矩阵A能对角化 即方程组(E A)x 0有2个线性无关的解，也即R(E A) 1。 (3分)

0 1

101 10 1

E A 10x 00x 1

10 1 000

因此，当x 1时，矩阵A能对角化。 (2分)

110

十、 二次型f对应的矩阵A 10 1 ， (2分)

0 11

1 1

E A 1

1

1 ( 2)( 1)( 1) 0 1