《高等数学(上)》(3：导数的应用)Word

　　《高等数学（上）》重修内容（一）函数、极限与连续 （二）导数与微分 （三）导数的应用 （四）不定积分 （五）定积分（三）导数的应用一、知识考点 二、习题解析一、知识考点0 ? 1．洛必达法则： , .? 0 ? 2．函数单调性与极值的讨论． 3．函数曲线的凹向与拐点的讨论． 4．导数的经济应用（高数B、F 1） 1) 边际的概念、计算与经济意义； 2) 弹性的概念、计算与经济意义． 5．最值及其应用 1)闭区间上连续函数的最值； 2）简单实际问题的最值计算 （经济的（高数B、F 1）、几何的（除高数B、F 1外的其他各类））．二、习题解析一、填空题 1．设 f ( x) 在 (a , b) 内可导，若 f ?( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 (a , b) 内的单调性 为 单调递减；若 f ?( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 (a , b) 内的单调性为 单调递增 ． 2．设函数 f ( x) 在开区间 (a , b) 内二阶可导，若 f ??( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 (a , b) 内的凹凸性为 凸的 ；若 f ??( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 (a , b) 内的 凹凸性为 凹的 ．2 f x ? ln 1 ? x ? ? ? ? 在闭区间 ?1, 3? 上的最小值等于 3．函数； ； ；最大值等于 ． 4 2 函数 y ? x ? 2 x ? 5 在 ?0 , 2? 上的最小值等于 最大值等于 ． 函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 在区间 [?1, 4] 上最小值等于 最大值等于 ．求连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最大(小 )值的方法: (1) f ?( x ) ? 0 的点，即驻点f ?( x ) 不存在的点比较得最大(小)值端点 x ? a , x ? b(2) 当 f (x)在闭区间[a, b]上单调时 最大值或最小 , 值必在端点处达到.3. 函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x 2 ? 在闭区间 ?1, 3? 上的最小值等于 最大值等于ln 2 ；ln10 .2x ? f x ? ? ? ?1 , 3? 上 f ?( x) ? 0 ，故 f (1) ? ln 2 为最小值， 解： 1 ? x 2 ，在闭区间f (3) ? ln10 为最大值．4 2 y ? x ? 2 x ? 5 在 ? 0 , 2? 上的最小值等于 函数4；最大值等于13.3 解：① f ? ? x ? ? 4 x ? 4 x ? 4 x( x ? 1)( x ? 1) ；② 令 f ?( x) ? 0 解得驻点 x1 ? ?1 （舍） ， x2 ? 0, x3 ? 1 ，无 f ?( x) 不 存在的点； ③ f (0) ? 5, f (1) ? 4, f (2) ? 13 ； ④ 最小值 f (1) ? 4 ，最大值 f (2) ? 13 ．3 2 f ( x ) ? x ? 3 x 函数 在区间 [?1, 4] 上的最小值等于?4；最大值等于 16 . 2 ? f x ? 3 x ? 6 x ? 3x( x ? 2) ； ? ? 解： ① ② 令 f ?( x) ? 0 解得驻点 x1 ? 0, x2 ? 2 ，无 f ?( x) 不存在的点； ③ f (0) ? 0, f (2) ? ?4, f (?1) ? ?4, f (4) ? 16 ； ④ 最小值 f (?1) ? f (2) ? ?4 ，最大值 f (4) ? 16 ．二、习题解析一、填空题 1．设 f ( x) 在 (a , b) 内可导，若 f ?( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 (a , b) 内的单调性 为 单

　　调递减；若 f ?( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 (a , b) 内的单调性为 单调递增 ． 2．设函数 f ( x) 在开区间 (a , b) 内二阶可导，若 f ??( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 (a , b) 内的凹凸性为 凸的 ；若 f ??( x) ? 0 ，则 f ( x) 在 (a , b) 内的 凹凸性为 凹的 ．2 f x ? ln 1 ? x ? ? ? ? 在闭区间 ?1, 3? 上的最小值等于 3．函数ln 2 ；最大值等于 ln10 ． 4 2 函数 y ? x ? 2 x ? 5 在 ?0 , 2? 上的最小值等于 最大值等于 13 ． 函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 在区间 [?1, 4] 上最小值等于 最大值等于 16 ．4 ；?4 ；二、单选题 1．设 f ( x) 为 x0 点左右邻近的可导函数，且 f ?( x0 ) ? 0 ，则下列正确 的是【 C 】 ． （ A） f ( x0 ) 是极值 （B） f ( x0 ) 不是极值（ C） f ( x0 ) 可能是极值 （D） f ( x0 ) 是极大值 解：因为 f ?( x0 ) ? 0 的点对应值 f ( x0 ) 是否为极值，还要看 x0 左右邻域f ?( x) 的正负号：如果 x0 左邻域 f ?( x) ? 0 且右邻域 f ?( x) ? 0 ，则 f ( x0 ) 为极大值； 如果 x0 左邻域 f ?( x) ? 0 且右邻域 f ?( x) ? 0 ，则 f ( x0 ) 为极小值； 如果 x0 左右邻域 f ?( x) 同为正或同为负，则 f ( x0 ) 不是极值， 故选 C.2．设 f ( x) 为 x0 点左右邻近的可导函数，但 x0 点却不可导， f ( x0 ) 存 在，下列正确的是【 A 】 ． （ A） f ( x0 ) 不一定是极值 （B） f ( x0 ) 是极值 （ C） f ( x0 ) 不是极值 解：与上题类似，选 A. （D） f ( x0 ) 是极小值3．下列函数在驻点处无极值的是【 C 】 ． （ A） y ? x （ C） y ? x32（B ） y ? e? x22 y ? 1 ? x （D ）解： （ A） y? ? 2 x ，在 x ? 0 的左右邻域，导数异号，有极值； （B） y? ? ?2 xe2? x2，在 x ? 0 的左右邻域，导数异号，有极值；（C ） y? ? 3x ? 0 ，在 x ? 0 的左右邻域，导数同号，无有极值； （D ） y? ? ?2 x ，在 x ? 0 的左右邻域，导数异号，有极值， 故选 C.4．下列函数在驻点处有极值的是【3 y ? x ?1 （ A）B】 ．2 y ? 1 ? x （B ）3 5 （D ） y ? x ? x3 y ? x （ C）2 ? y ? 3 x ? 0 ，在 x ? 0 的左右邻域，导数同号，无极值； 解： （ A）（B） y? ? ?2 x ，在 x ? 0 的左右邻域，导数异号，有极值； （C ） y? ? 1 ? sin x ? 0 ，在 x ? 0 的左右邻域，导数同号，无有 极值；2 4 ? y ? 3 x ? 5 x ? 0 ，在 x ? 0 的左右邻域，导数同号，无 （D ）有极值；故选 B.三、解答题1． 用洛必达法则求下列极限：ex ? x ?1 （1） lim ； x ?0 x2ln(1 ? x) （ 2） lim ； x ?0 sin xln x lim （3） x ??? 2 ； xx2 （4） xlim ??? e3 x ．0 ? 洛比达法则： 型, 型未定式 0 ?f ( x) lim x?a F ( x)? ( ) ?

　　?0 ( ) 0f ?( x) lim ? A (或?). x ? a F ?( x )解：(1)ex ? x ?1 (e x ? x ? 1)? ex ?1 (e x ? 1)? ex 1 lim ? lim ? lim ? lim ? lim ? ; 2 2 x ?0 x ? 0 x ? 0 x ? 0 x ( x )? 2x (2 x)? x?0 2 2?1 ln(1 ? x) [ln(1 ? x)]? 1 ? x ? ?1 lim ? lim ? li m （2） x?0 sin x x?0 (sin x)? x?0 cos x ； 1 ln x (ln x)? 1 x ? lim 2 ? lim ? lim 2 ? 0; (3) xlim ??? x 2 x ??? ( x )? x ??? 2 x x ??? 2 xx2 ( x 2 )? 2x (2 x)? 2 lim ? lim ? lim ? lim ? l im (4) x??? e3 x x??? (e3 x )? x??? 3e3 x x??? (3e3 x )? x??? 9e3 x ? 0 ．2．求下列函数的单调区间与极值：3 2 y ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 3 ； (1)一般求函数单调区间与极值的步骤:(1) 求定义域;(2) 求一阶导数; (3) 求驻点与一阶不可导点; (4) 求相应区间的导数符号,判别增减性； (5) 求极值.2．求下列函数的单调区间与极值：3 2 y ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 3 ； (1) 解:（1）定义域 (??, ??).(2)f ?( x) ? 6 x 2 ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2)得驻点 x1 ? 1, x2 ? 2. (3) 令 f ?( x) ? 0，（4）列表讨论xf ?( x )f ( x)(??,1)??10极 大 值(1, 2)??20极 小 值(2, ??)??所以函数的单调增加区间为 (??,1], [2, ??); 单调减少区间为 [1, 2]. 极大值 f (1) ? 2, 极小值 f (2) ? 1.2．求下列函数的单调区间与极值：(2) y ? x ? ln ? x ? 1? ；解： （1）定义域 D ? ( ?1, ?? ) ， 1 x (2) y? ? 1 ? ? , 1? x 1? x （3） y? ? 0 的点 x ? 0y? 不存在的点 x ? ?1 （舍） ，（4）列表讨论xy?y17( ?1, 0)?0 0(0, ?? )?单减极小值 y(0) ? 0单增因此该函数在区间 (0, ?? ) 内单调增加 , 在区间 ( ?1,0) 内单调减少 . 在点 x ? 0 处取得极小 值 f (0) ? 0 .2．求下列函数的单调区间与极值：解:（1）定义域 (??, ??). (2) f ?( x) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3x( x ? 2)(3) y ? x ? 3x ．3 2得驻点 x1 ? 0, x2 ? 2. (3) 令 f ?( x) ? 0，（4）列表讨论xf ?( x )f ( x)(??, 0)??00极 大 值(0, 2)??20极 小 值(2, ??)??所以函数的单调增加区间为 (??,0], [2, ??); 单调减少区间为 [0, 2]. 极大值 f (0) ? 0, 极小值 f (2) ? ?4.3．求下列函数曲线的凹凸区间与拐点：4 3 y ? 3 x ? 4 x ?1； （1）一般求函数曲线的凹凸区间与拐点的步骤:(1) 求定义域;(2) 求一阶导数及二阶导数;(3) 求二阶导数等于零及不存在的点;(4) 求相应区间的二阶导数的符号,判别凹凸性;(5) 求拐点.3．求下列函数曲线的凹凸区间与拐点：4 3 y ? 3 x ? 4 x ?1； （1）解：（1） 定义域D ? (??,??).（2）y? ?

　　12 x 3 ? 12 x 2， y ?? ? 36 x 2 ? 24 x ? 12 x( 3 x ? 2) ， 2 3 定义域内没有y??不存在的点. 令y?? ? 0，得x1 ? 0，x1 ? （3）列表讨论xf ??( x)(??, 0)?00拐 点2 (0, ) 32 32 ( , ??) 3?0拐 点?f ( x)???2 11 f ( 0) ? 1，f ( ) ? ， 3 27 2 因此该曲线在区间 ( 0, ) 内是凸的， 3 2 在区间 ( ??, 0),( , ??) 内是凹的 .? 3 2 11 拐点为 ( 0,1), ( , ). 3 273．求下列函数曲线的凹凸区间与拐点： （2） y ? 2 x ? x ；解：（1） 定义域D ? [0,??).1 2（2）y? ? x?1 2? 1，1 ?3 1 2 ?? y ? ? x ? ? ? 0( x ? ( 0, ??)) ， 3 2 2 x 因此该曲线在区间 ( 0, ??) 内是凸的,没有拐点.3．求下列函数曲线的凹凸区间与拐点：1 3 2 y ? x ? 3 x ? 8 x ? 24 ； （3） 3解：（1） 定义域D ? (??,??).（2）y? ? x 2 ? 6 x ? 8， y?? ? 2 x ? 6， 令y?? ? 0，得x ? 3， 定义域内没有y??不存在的点. （3）列表讨论f ??( x ) f ( x)f ( 3) ? 30，x( ?? , 3)?-3 0拐点(3, + ? )?+因此该曲线在区间 ( ??, 3) 内是凸的， 在区间 ( 3, ??) 内是凹的. 拐点为 ( 3, 30).四、 应用题 （高数 B、F1）1 2 q C q ? 1．某厂生产一种产品，产量为 件时，总成本 ? ? q ? 4q ? 1800 元， 21 p ? 140 ? q （价格 p 的单位：元 /件） 市场对该商品的需求规律 ， 2试求：(1) 收益函数； (2) 利润函数； (3) 产量 q 是多少时，利润最大？最大利润是多少？解：（1） R(q) ? q ? p ? q(140 ?1 1 q) ? 140q ? q 2 , 2 2(2)L (q) ? R (q) ? C(q) ? ?q2 ? 136q ? 1800(3)L?(q) ? ?2q ? 136 ? ?2(q ? 68)令 L?(q) ? 0，得q ? 68L??(q) ? ?2 ? 0?L (68) ? 2824为极大值，也就是最大值.? 当产量q ? 68 （件）时，利润最大.最大利润为 2824 元.四、 应用题 （高数 B、F1） 2． 一个生产钻头的机械工厂，厂长预计生产 Q 个钻头所需总成本C (Q) ? 1000 ? 25Q ? 0.1Q 2 （美元） ，求： （1） 平均成本函数 C (Q) 及边际成本函数 C ?(Q) ； （2） 产量为 10 个时的平均成本及边际成本，分别说明两者的 经济意义．1000 C( x) 1000 ? 25 x ? 0.1 x 2 ? ?0.1 x ? 25 ? 解： ?1? C(x) ? x ? x x C ?(x) ? 25 ? 0.2 x1000 ? 2? C(10) ? ?0.1 ? 10 ? 25 ? 10 ? 124经济意义: 生产10个钻头的平均成本为124美元．C ?(10) ? 25 ? 2 ? 23经济意义: 在每天生产10个钻头的基础上,增加一件产品的 生产，成本增加23美元.四、 应用题 （高数 B、F1） 3 ．设某商品 的需求 量 Q 关于价 格 P 的函数 为 Q ? e ，分 别求? P 2P ? 1, 2, 4 时的需求价格弹性，并说明其经济意义．P ? P EQ

　　导数

　　dQ P 1 P 2 ?? ? ? ? e (? ) ? 解 2 EP dP Q 2 QEQ EP EQ EP EQ EP? ?0.5,P ?1当价格为1元时，涨价1%，需求量将减少0.5%；? ?1,P ?2当价格为2元时，涨价1%，需求量将减少1%；? ?2,P ?4当价格为4元时，涨价1%，需求量将减少2%.四、 应用题 （除高数 B、F1 外的其他各类）2 m 1．欲用围墙围成面积为 216 的一块矩形土地，并在正中间用一堵墙将其隔成两块， 问这块地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所 用的建筑材料最省？216 x解 : 设矩形土地长为x, 则另一边长 216 216 432 为 ,目标函数y ? 3x ? 2 ? ? 3x ? , x x xx432 432 y ' ? (3x ? )' ? 3? 2 x x 432 令y ' ? 0 ? 3 ? 2 ? 0 ? x ? ?12(舍去), x ? 12是唯一驻点 x 216 当土地一边长为12米, 另一边为 ? 18米时, 12 所用材料最省.四、 应用题 （除高数 B、F1 外的其他各类） 2．有一矩形纸板，其长、宽分别为 10 cm 和 16 cm ．现从矩形的四 角截去四个相同的正方形.做成一个无盖的盒子，问小正方形的边 长为多少时，盒子的容积最大？解： ①设小正方形的边长为 x ，方盒的容积为 V ，则V ? x(10 ? 2 x)(16 ? 2 x)20 x ? 2 （ x ? 3 舍去） ；x ? (0,5)2 ? ? 4(3 x ? 26 x ? 40) ，令 V ? ? 0 ，得惟一驻点 V ②③由实际意义知，V 在定义域 (0,5) 内确有最大值，且驻点 惟一，故当截去的小正方形的边长为 2cm 时，方盒的 容积最大 .