基于前景理论及云模型风险型多准则决策方法_赵坤

第30卷第3期Vol.30No.3

文章编号:1001-0920(2015)03-0395-08

控制与

and

决策

ControlDecision

2015年3月Mar.2015

DOI:10.13195/j.kzyjc.2013.1773

基于前景理论及云模型风险型多准则决策方法

赵

坤1,2,高建伟1,祁之强1,李存斌1

(1.华北电力大学经济与管理学院，北京102206；2.国华能源投资有限公司，北京100007)

摘

要:针对具有语言评价信息、准则权系数部分已知的多准则决策问题,提出一种基于前景理论及云模型的决策

方法.首先,通过给出一种改进的云模型生成方法将语言评价值转化为云模型;然后,通过定义云模型距离和可能度给出云前景价值,并以其他备选方案为动态参考点,构建云前景决策矩阵;最后,在依据离差最大化得出最优权系数的基础上,通过各方案综合前景值对其进行排序.算例验证了所提出方法的合理性和可靠性.关键词:风险型决策；云模型；前景理论；离差最大化中图分类号:C934

文献标志码:A

Multi-criteriarisky-decision-makingapproachbasedonprospecttheoryandcloudmodel

ZHAOKun1,2,GAOJian-wei1,QIZhi-qiang1,LICun-bin1

(1.SchoolofEconomicsandManagement，NorthChinaElectronicPowerUniversity，Beijing102206，China;2.

GuohuaEnergyInvestmentCorporationLtd，Beijing100007，China.

Correspondent：GAOJian-wei，E-mail:

qzq8610689@http://wendang.chazidian.com)

Abstract:Fortheriskymulti-criteriadecision-makingprobleminwhichthecriteriavalueislinguisticvariables,andtheweightedcoef cientsarepartiallyknown,adecision-makingapproachbasedontheprospecttheoryandthecloudmodelisproposed.Animprovedmethodforgeneratingcloudisproposed,andthelinguisticvariablesareconvertedintothecloudmodelbasedonthismethod.Afterthat,theclouddistanceandthecloudcomparisonrulearede ned.Then,theprospectvaluefunctionofthecloudmodelcanbede ned,andtheprospectdecisionmatrixisconstructedbasedonallotheralternativesasthedynamicreferencepoint.Onthebasisoftheoptimalcriteriaweightsattainedbythealgorithmofmaximizingdeviation,theorderofalternativescanbelistedbycomparingtheintegratedprospectvaluesofeachalternative.Finally,anexampleisillustratedtoverifytherationalityandreliabilityoftheproposedmethod.Keywords:riskdecisionmaking；cloudmodel；prospecttheory；maximumdeviation

0引言

针对语言变量的多准则决策问题,一种方法是直接通过语言变量进行建模,但这类方法在进行操作和运算的过程中可能会出现信息丢失的现象;另一种方法是将语言变量转化为模糊数进行决策研究,该类方法使用隶属度函数得出精确的隶属度,这便将模糊数学拉回到精确数学的范畴,违背了模糊数学的基本理念.此外,传统隶属函数也无法直接反映出决策对象模糊性与随机性之间的关联[1].针对此现象,Li等[2]于1995年结合概率论和模糊集的基本原理提出了云模型,形成定性概念与定量表示之间的转化.该

多准则决策是分析决策理论的重要内容之一,是主要考虑在多个准则下选择最优方案或对有限的方案进行排序和评价的研究.然而,在实际决策中,事物本身的模糊性和人类认识的局限性往往导致决策者很难用精确的数值去刻画决策对象,需要用语言变量、不确定区间数等模糊的概念进行评价.由于其中的语言变量更符合决策者的思维习惯,准则值为语言变量的多准则决策方法便成为了一类具有潜在应用价值的研究.

收稿日期:2013-12-20；修回日期:2014-05-09.

基金项目:国家自然科学基金项目(71271083,71271084)；教育部新世纪优秀人才计划项目(NCET-10-0375)；中央

高校基本科研业务费专项基金重点项目(12zx0811ZG06)；中央高校基本科研业务费专项基金项目(13XS25).

作者简介:赵坤(1972 ),男,博士生,高级工程师,从事能源投资决策与风险型决策分析的研究；高建伟(1972 ),男,教

授,博士生导师,从事系统优化与决策分析等研究.

模型能够较好地表述决策对象的模糊性和随机性,而且能够在一定程度上解决信息集结过程中信息丢失的现象[3],已广泛应用于环境、电力、军事等领域[4-6],但应用到决策理论的研究还是较少的:文献[7]利用云模型表达了语言变量的模糊性和随机性,但该研究没有验证模型的有效性;文献[3]将不确定语言变量转化为云模型应用于群决策研究,并通过算例验证了云模型的可行性;文献[8]将不确定语言评价标度转化为一维正态云模型,并在算例中通过将该方法与语言变量转化为区间数的排序结果进行对比分析,验证了该方法的可靠性.然而,由于外界环境的复杂性和不确定性,方案的准则值可能会随着外界环境的变化而变化,上述研究均未考虑到外界环境对决策准则值和排序结果的影响.

针对考虑外界环境变化的风险型多准则决策问题,有些学者利用期望效用理论进行了研究[9-10],但该理论是基于决策者“完全理性”为前提条件的,在实际决策中往往很难做到,因此在研究中存在一定的局限性.Kahneman等[11]针对上述问题结合心理学和行为科学提出前景理论,该理论指出人类在面临收益和损失时会存在规避和偏好不同的风险态度,且具有对损失比收益更敏感的原则[12].该理论的提出解释了很多期望效用理论不能解释的现象,因此在决策领域界广受学者的关注和应用.

然而,目前将前景理论应用于语言变量风险型决策的研究还比较少:文献[13]将语言信息转化为区间数应用于前景理论,依据区间数运算法则得出各方案排序;文献[14]利用不确定语言短语符号表示语言变量,依据符号下标的操作,以表示中等含义的符号为参考点利用前景理论对各方案进行了排序;文献[15-16]分别将语言短语转化为三角模糊数和梯形模糊数,进而依据模糊数的运算法则和前景理论原理,以期望向量为参考点,得出方案排序.上述研究均取得了一定的结论和成果,但3种方法均未考虑准则权系数部分已知或完全未知的情形,且3种方法均是以提前给出的固定值为参考点,若参考点发生变化,则各方案的排序也可能发生变化,因此该研究的排序结果缺乏一定的可靠性.

本文针对准则值为语言变量、各准则各自然状态发生概率不同、准则权系数部分已知的风险型决策问题,给出一种基于前景理论结合云模型的决策方法.该方法依据改进的云模型生成方法定义,将语言评价标度转化为云模型,并通过定义云模型的可能度和距离公式,以备选方案为参考点定义了云前景价值函数,

得到云前景决策矩阵,据此在通过求解兼顾主客观权重信息优化模型得出最优权重的基础上,求出各方案综合前景值,最后与文献[8]、文献[13]进行对比分析,以说明该方法符合实际的决策过程,具有一定的可靠性.

1预备知识

1.1

云模型

1995年,Li等[2]提出一种能将定性语言值和定量数域通过不确定关系相联系的云模型,该模型能够较好地刻画出语言值模糊性和随机性之间的关联.其具体定义如下.

定义1设 是定量论域 上的定性概念,若论域 中的元素 对 的确定度 ( )是一个具有稳定倾向的随机数,则元素 的隶属度 ( )在论域 上的分布称为云,记为 ( ),即 ( ): →[0,1],

∈ 均有 → ( ).

云模型是通过期望值 、熵 和超熵 三个特征数字有效地整合来刻画定性概念的随机性和模糊性,这从整体上反映出定性概念定量的性质.因此,一般将云模型记为 ( , , ).其中: 是云滴属于定性概念的数学期望值; 是定性概念模糊性的度量; 是反映云滴的离散程度和确定度的随机性[17].1.2

前景理论

1979年,Kahneman等[11]提出“前景理论”,它是通过修正最大主观期望效用理论发展而来的.该理论将决策分为编辑和评价两个过程,编辑阶段是数据处理和参考点选取,评价阶段是依赖价值函数和权重函数对信息进行判断和计算.其决策过程能够反映出决策者在决策中所表现出的有限理性,因此,其决策结果也更符合人本身所固有的思维习惯.

前景理论中的核心为前景价值,它主要由“价值函数”和“权重函数”两部分组成[18],即

∑

( ) (Δ ). =

=1

(1)

其中: ( )表示考虑风险态度的概率权重函数; (Δ )表示决策者通过主观感受形成的价值函数.两个函数的形式分别为

,Δ 0;

( )=

( )=

,Δ 0.

(Δ ) ,Δ 0;

(2)

(Δ ) ,Δ 0.

(3)

其中:Δ 为决策准则值相对于参考点的差值; 和

分别为风险态度系数,0 , 1,且 、 值越大

完整云,表达一般的定性概念,左右相邻的云分别为

{ 1( 1, 1, 1), 1( 1, 1, 1), 2( 2, 2, 2), 2( 2, 2, 2), ,

( , , ),

代表决策者越倾向于冒险,当 = =1时,决策者是风险中立者; 为损失规避系数,当 >1时,代表决策者对于损失具有更高的敏感度.

2云模型计算方法及云前景价值

2.1语言值转化为云模型的生成方法

设决策者对各方案属性的语言评价等级为 (一般为奇数),由专家制定有效论域 =[ min, max],即可利用云变化或黄金分割法[19]生成 朵云与相应的语言标度一一对应.中间云 0( 0, 0, 0)为

表1

云模型

+2( +2, +2, +2) +1( +1, +1, +1) 0( 0, 0, 0) 1( 1, 1, 1) 2( 2, 1, 2)

1( 1, 1, 1)}.

左边的云是半降云,表示一些较差的定性概念;右边的云是半升云,表示一些较好的定性概念.

针对具有5个语言等级的例子,文献[2,6]给出了利用黄金分割法生成云的计算方法,如表1所示.

文献[2-6]中云模型生成方法

min

+1/0.618

0.382×( max min)/6

0.618 1

0.382×( max min)/6

1/0.618

+1/0.618 0/0.618

0+0.382×( max+ min)/2

( max+ min)/2

0 0.382×( max+ min)/2

max

给定 0

0/0.618 1/0.618

该方法具有一定的局限性,例如在论域 =[10,

20]上,构造的第2和第4朵云的期望值为

1= 0 0.382× +1=

min+ max

0+0.382×=20.73,

表2

云模型

+( +, +, +)

显然这两朵云期望值都已超出论域 的范围:若在论域 =[ 10,10]上,构造的第2和第4朵云的期望值为 1= +1= 0=0,这就无法区分语言评价标度的等级.因此,针对上述方法中存在的局限性,本文根据云构造原理对上述方法进行改进,给出一种新的在论域 =[ min, max]生成 朵云的计算方法.其计算公式如表2所示.

min+ max

=9.27,

云模型生成方法

max

min)2

+/0.618

+/0.618

+( +, +, +)

0+0.382

( ...

max

+/0.618 +/0.618

...

+2( +2, +2, +2) +1( +1, +1, +1) 0( 0, 0, 0) 1( 1, 1, 1) 2( 2, 2, 2)

0+0.382

/ 3 min)×2

22( )/ 3 maxmin

0+0.382

22

max

(

.

..

+1/0.6180.382×

max min

6

...

+1/0.618 0/0.618

( max+ min)/2

0 0.382 0 0.382

(

max

(

max

min)/ min 3×2

22

)/ 3

0.618 1

0.382×

max min

给定 0

0/0.618 1/0.618

1/0.618

...

( , , )

...

0 0.382

...

max

...

/0.618

(

min)2

/0.618

1( 1, 1, 1)

min

3/0.618

3/0.618

具体步骤如下.

Step11)根据论域 =[ min, max],生成中间完整云、最后一朵半降云和最后一朵半升云的期望

值.其计算公式分别为

0=( min+ max)/2, 1= min,

398

控

+ 1= max;

制与决策

max 0.309× ,

第30卷

2)生成与中间云相邻第1朵半降云和第1朵半升云的熵

1= +1=0.382×( max min)/6;

从而 min< +< max,即最大期望值也在论

域中.因此,半升云的期望值均在论域 中.

对于半降云,可采用类似半升云的证明方法,证明半降云的期望值也在论域中.2.2

云模型运算法则

对于云模型距离的运算,为全面考虑云模型3个特征数字的关系,本文基于云模型“3 规则”[20]给出一种云模型距离运算的定义.

定义2[21]

设 1, 2是两朵一维正态云, 是正

态云集合, 是一个映射,即 : × → .如果 ( 1,

2)满足:1) ( 1, 2) 0, ( 2, 1) 0;2) ( 1, 2)= ( 2, 1);3)若 3为任一正态云, ( 1, 3) ( 1, 2)+ ( 2, 3).则 ( 1, 2)为正态云 1与 2之

3)给定中间云的超熵 0.

Step21)将中间云和最后一朵半升云的期望值作为线段的两个端点,取线段的0.382倍,依据剩余半升云的朵数将线段分成( 3)/2份,将每一点对应的数值赋予相对应剩余的半升云期望值;

2)依据前一朵云与后一朵云熵的比例为黄金分割率的原则,生成中间云的熵 0=0.618 1,并生成第2朵半升云和半降云的熵 2= 1/0.618,

+2= +1/0.618;

□

3)依据前一朵云与后一朵云超熵比例为黄金分割率的原则,生成第1朵半升云和半降云的超熵

1= +1= 0/0.618.

间的距离.

定义3

设 1( 1, 1, 1)和 2( 2, 2,

2)为论域 中两朵一维正态云,根据正态云“3

Step31)依据生成剩余半升云期望值的原理,生成剩余半降云的期望值;

2)依据前一朵与后一朵云熵和超熵的比例为黄金分割率的原则,生成剩余半升云和半降云的熵、超熵.

性质1本方法生成云模型的期望值各不相同,且均在论域 中.

证明

1)由于论域 的长度 = max min

=0,即0.382×( max min)/2=0,显然本方法生

规则”,正态云 1与 2的Hamming距离为

√

2

2( 1, 2)+( 1, 2)

( 1, 2)=.

其中

1, 2)=

√ ()3 1 1

1

√ ()3 1 2 ,

2

1, 2)=

√ ()3 11

1 1+

1

√ ()3 1+ 2 .

2

容易证明,上述距离满足定义2中的3个条件.

(4)

成的云模型期望值各不相同;

2)以半升云的期望值为例,除最后一朵半升云模型的端点期望值 1= max外,若剩余半升云模

型的最大和最小期望值均在论域中,则可证明半升云的期望值均在论域中.

①第1朵半升云的期望值 1就是最小期望值,

1= 0+0.382×( max min)/( 3).将 0=( min+ max)/2代入,可得

1=

((0.382)0.382)

max+0.5 min=0.5+

(0.382)

max 0.5 × ,

其中 = max min.由 3 1得 min< 1< max,即最小期望值在论域中.

由于云模型具有3个特征数字,使其无法直接比较大小.本文通过定义云模型可能度给出一种云模型比较大小的方法.

定义4

设 1( 1, 1, 1)和 2( 2, 2,

2)为论域 中两朵一维正态云,正理想云为 (max ,max ,max ), =1,2, ( 1 2)为 1 2的可能度,表示为

( , 1)

,(5) ( 1 2)=1

12其中 ( , 1)和 ( , 2)分别为 1和 2与理想

②倒数第2朵半升云的期望值 +就是剩余云中最大期望值, + 3= 0+0.382×( max

min)/2.同理得

云 的Hamming距离.若 ( 1 2) 0.5,则 1 2,否则 1< 2.

由定义4可知:

+ 3=0.691 max+0.309 min=

1)0 ( 1 2) 1;

2) ( 1 2)+ ( 2 1)=1;

3)若 ( 1 2)= ( 2 1)=0.5,则云

1与云 2相等.

2, , },各准则间相互独立,准则权重向量 =

∑

{ 1, 2, , },并有约束条件 =1, 0, =1,2, , .准则 下可能发生的自然状态为Θ

(1 )状态发生的概率={ 1, 2, , },且

为 .方案 在准则 状态 下的语言变量为 ,

=1

性质2论域 中,在云的期望值相同的条件下,

若云的随机性和离散程度越大,则云越差,即云描述的定性概念越模糊.

证明设 1( 1, 1, 1)和 2( 2, 2,

2)为论域 中的两朵一维正态云,根据性质2自

得到语言决策矩阵如表3所示.

表3

1

1 2

1 11 121

2 11 221

风险型语言决策矩阵

1 11 1 21

身的前提条件可得

1= 2, 1 2, 1 2.

1 1 12

2 1 22

根据定义4求得正理想云为 ( 1, 1, 1),依据式(5)得 ( 1 2)=1,由此可得 1> 2,即云 2随机性和离散度越大,云 2越差.

.

..

...

1 1 1

.

..

2 1 2

..

.

.

..

..

.

...

1 1

.

..

2 2

2

1

..

.

...

1 1

□

概率

一般情况下,针对云模型可以采用综合集结算子和加权平均集结算子进行集结,考虑到各正态云不同的重要程度,本文采用文献[22]加权平均集结算子对

朵正态云进行集结.

3.2决策步骤

针对上述问题,基于前景理论及云模型的风险型

决策方法步骤如下.

Step1:将语言变量转化为正态云模型.根据决策者语言评价标度,利用本文在表1中给出的方法在有效论域 =[ min, max]上生成相对应的云模型,得到云决策矩阵.

Step2:确定各方案云模型前景决策矩阵.前景理论指出,决策者在进行决策时是利用结果与预期的差距来衡量“收益”或“损失”,因此参考点的选取极其重要.采用文献[23]的方法,以其他备选方案为动态参

定义5设论域 中存在 朵云{ 1( 1, 1,

1), 2( 2, 2, 2), , ( , , )},

若 朵云通过权重集结算子

( , , ),则 =

[22]

生成一朵综合云为

(∑ ∑ ∑

22 ,( ),( ),

=1

=1

=1

(6)

其中 ={ 1, 2, , }为各云模型的权重.2.3云模型前景价值

前景理论中式(1)和(2)的运算均是针对实数,无法在本文中直接使用.为此,本文针对操作变量为云模型的情况,给出云模型前景价值函数的定义.

定义6设 1( 1, 1, 1)和 2( 2, 2,

2)为两朵正态云,若以云 2为参考点,依据云距

考点,根据下式计算各方案在各准则下的云前景值:

∑∑

( ) ( ).(8) =

=1 =1, =

离运算和比较大小的规则,构建云 1的前景价值函数为

( 1)=

其中价值函数和权重函数分别为

( ( , )), ;

( )=

( ( , )) , < .

, ; ( )=

, < .

Step3:确定准则权系数.若准则权系数直接由决策者主观给出,则这种方法的透明性和再现性较差,也缺乏一定合理的依据;若直接通过决策数据客观制定权重,则完全忽略了决策者的信息.因此,本文在决策者主观给出部分准则权信息的基础上,依据离差最大化方法构建一种线性规划优化模型,即 1∑ ∑∑

∣ ∣ ;max =

=1 = +1 =1

( ( 1, 2)) , 1 2; ( ( , )) , < .

1212

(7)

其中云模型的距离和比较大小的规则分别采用定义3和定义4中的式(4)和(5).

3基于前景理论及云模型风险型多准则决

策步骤

3.1问题描述

假设对于某个语言变量风险型多准则决策问题,方案集 ={ 1, 2, , },方案的准则集 ={ 1,

(9)

s.t.

∑ =1

=1, ∈ .