基于模糊一致矩阵的模糊层次分析法的排序_吕跃进

第16卷第2期模　糊　系　统　与　数　学Vol.16,No.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2002年6月FuzzySystemsandMathematicsJun.,2002文章编号:1001-7402(2002)02-0079-07

基于模糊一致矩阵的模糊层次分析法的排序

吕跃进

(广西大学数学与信息科学系,广西南宁　530004)

摘　要:分析基于模糊一致矩阵的模糊层次分析法(FAHP),改正文[4]中存在的两个将会误导决策的错误,给出并证明模糊一致矩阵的一些重要性质,获得模糊互补判断矩阵下的一个简明排序计算公式,完善模糊层次分析法的排序原理。

关键词:模糊层次分析;模糊一致矩阵;排序方法;决策

中图分类号:O159;C934　　　文献标识码:A

1　引言

美国运筹学家A.L.Saaty教授提出的层次分析法(AHP)[1],是一种定性与定量相结合的多目标系统决策方法,在社会、经济、管理、军事等等领域中有着广泛的应用。为了改进传统层次分析法中诸如判断一致性与矩阵一致性相异、一致性检验困难与缺乏科学性等等问题以提高决策可靠性,一些学者提出了模糊层次分析法(FAHP),一种是基于模糊数的FAHP,另一种则是基于模糊一致矩阵的FAHP[3][2,4][1]。本文讨论后一种FAHP。

文献[4]讨论了表示因素间两两重要性比较的模糊一致矩阵同表示因素重要程度权重之间的关系,设表示元素a1,a2,…,an两两比较重要程度的模糊互补判断矩阵为

r11

R=r21

…

rn1r12…r22………rn2…r

1nr2n…r其中,0≤rij≤1,rij+rji=1。rij表示元素ai比元素aj重要的隶属度,rij越大,ai就比aj元素越重要,rij=0.5时表示ai和aj同等重要。设元素a1,a2,…,an的权重分别为w1,w2,…,wn,则rij与wi-wj可建立一定的联系,用函数f表示为

rij=f(wi-wj)

　　文献[4]推断出f应是在[-1,1]上的连续增函数,并得到如下的结论与论点:

(1)当R为模糊一致矩阵时,有关系

rij=a(wi-wj)+0.5

　　(2)其中参数a可以在区间(0,0.5)内自由选择;

收稿日期:2001-06-01;修订日期:2002-03-18基金项目:广西壮族自治区教育厅科研基金(1996[403]):(,,,,,。(1)

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(3)a越大表明决策者非常重视元素间重要程度的差异,越小表明决策者不是非常重视元素间重要程度的差异;

(4)当R为模糊互补矩阵时,权重向量W=(w1,w2,…,wn)可用最小二乘法求如下的约束规划问题得到:

min　z=

(P1)但没有给出权重的具体表达式。

事实上,上述论点(2)、(3)是错误的,该错误将影响到人们应用模糊层次分析法的正确性。本文讨论模糊矩阵的一些性质与模糊一致矩阵的充分必要条件,给出了模糊层次分析法的一个排序计算公式,讨论了模糊权重的性质,改进了文献[4]中的结果并改正了上述错误。nT∑∑nni=1j=1[0.5+a(wi-wj)-rij]2s.t.　∑wi=1,wi≥0,1≤i≤ni=1

2　模糊一致矩阵的充分必要条件

记K={1,2,…,n}。

定义2.1　设矩阵F=(fij)n×n,若有[2]0≤fij≤1(i,j∈K),则称F是模糊矩阵。

定义2.2　若模糊矩阵R=(rij)n×n满足

定义2.3　若模糊矩阵R=(rij)n×n满足

阵。

模糊一致矩阵必然是模糊互补的。模糊互补矩阵中对角线上元素rii=0.5。文献[3,4]事实上已证明了下述定理。

定理2.1　设R是模糊矩阵,则下列命题等价:

(1)R是模糊一致矩阵;

(2)R的任意两行的对应元素之差为常数;

(3)R的任意指定行和其余各行对应元素之差为某一个常数;

(4)R的转置矩阵R(或余矩阵R)是模糊一致矩阵。

上述(2)、(3)中的行换为列亦然。

定理2.2　设R是模糊矩阵,则R是模糊一致矩阵的充分必要条件是R中任一元素均可由其第一行元素按下述关系表示出来:

rij=r1j-r1i+0.5,　i,j∈K

　　证明　若R是模糊一致矩阵,则由定义, i,j,k∈K,有

rij=rik-rjk+0.5

特取k=1,并由互补性可得

rij=ri1-rj1+0.5=(1-r1i)-(1-r1j)+0.5=r1j-r1i+0.5

反之,若rij=r1j-r1i+0.5,则 j,j,k∈K,一方面有

rik-rjk=(r1k-r1i+0.5)-(r1k-r1j+0.5)=r1j-r1i

另一方面,rij=r1j-r1i+0.5,故得rij=rik-rjk+0.5,即R是模糊一致矩阵。证毕。

事实上,模糊一致矩阵中的所有元素可以由其任一行(列)元素表示。

关于模糊互补矩阵,易知下面两个引理成立。1,i,TC[2][4]rij+rji=1(i,j∈K),则称R是模糊互补矩阵。rij=rik-rjk+0.5(i,j,k∈K),则称R是模糊一致矩

第2期　　　　　　　　　吕跃进:基于模糊一致矩阵的模糊层次分析法的排序81

≤∑rik≤n-,　i=1,2,…,n22k=1

　　引理2.2　设R是n阶模糊互补矩阵,则其所有元素之和等于一常数n2/2,即

rij=2∑∑i=1j=1

　　定理2.3　设R是n阶模糊矩阵,则R是模糊一致矩阵的充分必要条件是存在一n阶非负归

T一化的向量W=(w1,w2,…,wn)及一正数a,使得 i,j,

rij=a(wi-wj)+0.5

成立。

证明　(必要性)设R是模糊一致矩阵,取定a≥(n-1)/2,令

wi=-+∑rik,　i∈K2anak=1n

则(2)式满足非负性与归一化条件,事实上,由引理2.1,∑rik≥,所以有2k=1

wi≥

再由a的取法,即知

wi≥

nnnnnnn2n(1)(2)-+=n2ana22an=02an2+∑rik=1-2a+na2=12ana∑i=1k=1

nnn又由(2)式对i求和,并利用引理2.2,有∑i=1wi=∑ni=1-n∑i=1再证由(2)式定义的wi满足关系式(1),利用(2)式有a(wi-wj)=n∑(rik-rjk)=n∑(rij-0.5)=nn(rij-0.5)=rij-0.5k=1k=1

上式中第二个等号用到了R的模糊一致性,由此即得

rij=a(wi-wj)+0.5

　　(充分性)由(1)式, i,j,k∈1,2,…,n,有

rij=a(wi-wj)+0.5　　　　　　　　　　　　　

=a(wi-wk+wk-wj)+0.5

=a(wi-wk)+0.5-((a(wj-wk)+0.5)+0.5

=rik-rjk+0.5

即R是模糊一致矩阵。证毕。

3　模糊层次分析法权重排序公式

定理3.1　如果模糊判断矩阵R中的元素与其权重满足关系式(1),则其权重必由(2)式给出。证明　由(1)式,rij=a(wi-wj)+0.5,固定i可得

wi=

然后对k求和,有

nwi=rik-+∑ak=1n(rik-)+wk,　k∈Ka2∑wk=nk

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n模　糊　系　统　与　数　学　　　　　　　　　　　　　2002年

由权重向量归一化条件∑wk=1,得k=1

wi=n-2a+-na∑rik,　i∈Kk=1

即(2)式成立,证毕。

由定理2.3和定理3.1,即得

定理3.2　若R是模糊一致矩阵,则其权重可由(2)式计算。

当R是模糊互补矩阵时,(1)式不一定成立,但我们仍可以用(2)式作为其权重计算公式,它与用最小二乘法计算权重的结果完全一致。

T定理3.3　设R是模糊互反矩阵,W=(w1,w2,…,wn)由最小二乘法所确定,即它是如下约束

规划问题的解:

min　z=

(P1)那么仍有

wi=-+rik,　i∈Kn2ana∑k=1

　　证明　由拉格朗日乘数法,(P1)等价于下面的无约束规划问题(P2):

nnnnn∑∑nni=1j=1[0.5+a(wi-wj)-rij]2s.t.　∑wi=1,wi≥0,1≤i≤ni=1n

i=1(P2)　minL(w,λ)=

令∑∑

2i=1j=1[0.5+a(wi-wj)-rij]+2λ(∑wi-1)2=0,并利用R的互补性之rii=0.5,整理后可得 win(P3)　∑[2a(wi-wj)+1(rji-rij)]+λ=0,　i∈Kj=1

n

注意到归一化条件∑wk=1,有k=1

n

(P4)　2anwi-2a-a∑(rji-rij)]+λ=0,　i∈K22

j=1

n

上式对i求和并再次利用归一化条件∑wk=1,有k=1

nn

2an-2an-a∑22

nn

i=1j=1i=1j=1∑(rji-rij)+nλ=0,　i∈K但∑∑(rji-rij)=0,所以λ=0,再由(P4)式中解出

wi=++(rji-rij),　i∈K2an2an∑j=1

又由R的互反性rji=1-rij,代入上式整理后即得

wi=n-2a+na∑rik,　i∈Kk=1

证毕。n2n

4　权重向量的性质与文献[4]中两个错误的分析1(2),

第2期　　　　　　　　　吕跃进:基于模糊一致矩阵的模糊层次分析法的排序83参数a必然满足

a≥

　　证明　由非负性,

wi=-+rik≥0n2ana∑k=1

即

(rik-)≥-∑ank=12n

由此可得:

-a≥rik,　i∈K2∑k=1

因R是一模糊互补矩阵,由引理2.1知, i=1,2,…,n,有

n≤∑rik≤n-22k=1

故有

a≥max{-2

证毕。

由此可知,设R是n阶模糊互补矩阵,当n=2时,a≥0.5,而当n≥3时,a≥1,所以文献[4]中关于a的结论0<a≤0.5是错误的。错误的根源在于对关系式

rij=a(wi-wj)+0.5

作了片面的分析,认为既然-1≤wi-wj≤1,0≤rij≤1,就应该有0<a≤0.5。但事实上由定理3.2与

。同时wi2

的值一般地也取不到1,任两个元素权重值之差落在一个比[-1,1]更小的一个区间内。定理3.3可知权重wi的大小依赖于参数a的选择,为了保证权重wi≥0,就必须取a≥

定理4.2　设R是n阶模糊互补矩阵,其权重向量满足关系式

rij=a(wi-wj)+0.5

则R中任两个元素的权重之差与参数a成反比,且 i,j∈K,

-

成立。

　　证明　由(1)式知

(wi-wj)=(rij-0.5)a(5)

,而0≤rij≤1,故2≤wi-wj≤n-1n-1(4)nnnn2(3)∑rik}=k=1-=222即wi-wj与a成反比。又由定理3.1,wi由(2)式确定,从而由定理4.1知a≥

有

|wi-wj|=

证毕。|rij-0.5|≤ =an-12n-1

由定理4.2可知,a越大,权重之差越小;a越小,权重之差则越大,当a=(n-1)/2时权重之差达到最大。因此,a越小表明决策者非常重视元素间重要程度的差异,a越大表明决策者不是非常重