伪距绝对定位方程解和PDOP

静态绝对定位

~

Dij(t)?Dij(t)?c?tij??Iij(t)??Tij(t) (伪距定位观测方程)

j

其中Di(t)为非线性项,表示测站与卫星间几何距离显然有:

Dij(t)?[(Xj(t)?Xi)2?(Yj(t)?Yi)2?(Zj(t)?Zi)2]1/2

这里

Xj(t),Yj(t),Zj(t)为

t时刻卫星S的三维地心坐标,Xi,Yi,Zi则是测站Ti的三

j

维地心坐标.如果设

Xi?Xi0??XiYi?Y0i??Yi

Zi?Zi0??Zi

(Xi0,Yi0,Zi0)为测站三维地心坐标的近似值，瞬时坐标为固定值，那么，对

Dij(t)以

(Xi0,Yi0,Zi0)为中心做泰勒级数展开取一次项后可得：

?Dij(t)?Dij(t)?Dij(t)

Di(t)?(Di(t))0?()0?Xi?()0?Yi?()0?Zi

?Xi?Yi?Zi

并且如果视导

j

j

航电文所提供的卫星 式子中：

jj?Dij(t)1

)0??j(Xj(t)?Xi0)??kij(t)（?li(t),?mi(t)） (

?Xi(Di(t))0

站星几何距离的线性表达式为：

(Dij(t))0?[(Xj(t)?Xi0)2?(Yj(t)?Yi0)2?(Zj(t)?Zi0)2)]

观测方程为：

1

2

，可得线性化的伪距

~

Dij(t)?(Dij(t))0?kij(t)?Xi?lij(t)?Yi?mij(t)?Zi?c?tij??Iij(t)??Tij(t) （3-48）

伪距法绝对定位解：

j

?X,?Y,?Z?tiiii在方程（3-48）中，含有3个测站未知数以及一个钟差未知数，因此接

收机至少要跟踪4颗GPS卫星，才能组成4个伪距观测方程，由此推算出测站的三维地心

坐标。电离层和对流层延迟等效距离误差可通过适当的数学模型解算。(3-48)式子可令:

~j~j

Ri(t)?Di(t)??Iij(t)??Tij(t) (3-49)

并记?Di

?c?tij (3-50)

称为卫星钟与接收机钟相对钟差等效距离误差.于是,伪距观测方程可以改写成为:

~j

Ri(t)?(Dij(t))0?kij(t)?Xi?lij(t)?Yi?mij(t)?Zi??Di (3-51)

式中j=1,2,3,4.采用矩阵形式,则有

?ki1(t)?2?ki(t)?ki3(t)?4?ki(t)?

上式可以简化为:

li1(t)mi1(t)

li2(t)mi2(t)li3(t)mi3(t)li4(t)mi4(t)

~

?1???Xi??(Dij(t))0?Ri1(t)?????~??1???Yi??(Di2(t))0?Ri2(t)?

?~??1??Zi??(Di3(t))0?Ri3(t)?

????4~4??1????Di???(Di(t))0?Ri(t)??

Ai(t)?Gi?Li(t)

4?4

4?1

4?1

(3-52)

由此,伪距法绝对定位解可以表示为:

?Gi

4?1

?Ai(t)?1Li(t) (3-53)

4?4

4?1

当卫星的颗数多于4颗,n

j

?4,可用最小二乘法组成误差方程:

nj?4

4?1

nj?1

vi(t)?Ai(t)?Gi?Li(t)

nj?1

(3-54)

相应的最小二乘解为:

?Gi?(Ai(t)TAi(t))?1Ai(t)TLi(t)

4?1

4?nj

nj?4

4?nj

nj?1

(3-55)

对于

nt个历元,可以形成nt组误差方程组(3-55)

?Li(t1)??vi(t1)??Ai(t1)?jj

?n?1??n?1???Xi??nj?1??vi(t2)??Ai(t2)???Y??Li(t2)??nj?1???nj?1??i???nj?1? ????????Zi?????v(tt)??A(t)???D??L(t)?

intin?i??ijnt?????jj

?n?1??n?1??n?1?

上式可简写为:

Vi(t1)?

(n?nt)?1

j

(n?nt)?44?1

j

Ai??Ti?

(n?nt)?1

j

Li

(3-56)

其最小二乘解为:

?Ti?(AiTAi)?1AiTLi (3-57)

4?1

4?4

4?1

公式(3-57)就是绝对定位解的一般形式,而反映定位精度的未知数协因数矩阵则为:

QTi?(AiTAi) (3-58)

4?4

4?4

?1

且参数向量各分量的中误差:

(mTi)k??0(QTi) (3-59)

kk

式中,?0为伪距测量中误差, (QTi)kk为QTi主对角线上第k个元素..

当观测时间较长时,接收机钟差随时间变化不容忽视.这时可用下述方法处理:一:是将钟差表示成多项式,平差时同时求出系数,另一种方法是不同的观测历元,分别取独立的钟差参数.

卫星几何分布精度因子:

影响GPS绝对定位的精度有两个:第一个:单位权中误差?0,它由码相关伪距测量的精度,卫星星历精度以及大气折射影响等许多因素;另一个因素是未知数的协因数矩阵QTi,它由卫星的空间几何分布确定.

几何精度因子DOP,以此作为衡量卫星空间几何分布对定位精度的标准. 未知数的协因数矩阵为:

?q11?qQTi??21

?q31??q41

q12q22q32q42

q13q23q33q43

q14?q24?? (3-61) q34??q44?

式子中各个元素反映出在特定的卫星空间几何分布下,不同参数的定位精度及其相关性信息.因此利用这些元素的不同组合,即可定义出若干从不同侧面描述卫星空间几何分布对定位精度影响的精度因子. 1. 钟差精度因子TDOP

TDOP=qq44 (3-62) 相应的中误差为:

mT??0?TDOP (3-63) 2. 三维位置精度因子PDOP

PDOP=q11?q22?q33(3-64) 相应三维位置中误差为: mp??0?PDOP

结合TDOP和PDOP,可定义反映卫星空间几何分布对接收机钟差和位置综合影响的精度因子-GDOP:

GDOP=q11?q22?q33?q44

相应的时空精度中误差为:

mG??0?GDOP

3. 垂直分量精度因子VDOP VDOP=q33 (3-68)

表示卫星空间几何分布对接收机位置垂直分量的影响,相应的垂直分量中误差为: mv??0?VDOP (3-69)

VDOP的另一种定义称为高程精度因子: VDOP=r?q/r (3-70)

式子中,r??x,y,z?为测站概略位置向量;q??q11,q22,q33?为三维精度因子向量.由(3-70)定义的VDOP计算mv,即得高程定位中误差.

4. 水平分量精度因子HDOP HDOP=11?q22 (3-71)

相应水平分量的中误差为:

mH??0?HDOP (3-72)

HDOP也有另外一种定义称为水平位置精度因子 HDOP=PDOP2?VDOP2(3-73)

由上式定义的HDOP计算mH,即得水平位置中误差.

从上式子中可看出,GPS绝对定位的误差和精度因子(DOP)的大小成正比,因此在精度?0确定的情况下,应尽量采用精度因子小的一组卫星进行观测.换句话说,当接收机跟踪的卫星多于4颗时,便可选择其中GDOP最小的一组卫星进行观测，这项工作称为选星，通常接收机可以自动完成。