量子力学中无限深势阱问题的教学研究_夏吾吉

第34卷第2期2015年2月大学物理COLLEGEPHYSICSVol．34No．2Feb．2015

量子力学中无限深势阱问题的教学研究

1

夏吾吉，张

林

2

（1．青海师范大学民族师范学院物理系，青海西宁810000；2．陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西西安710119）

发掘二维无限深势阱在不同边界约束情况下不同于一维问题摘要：在一维问题的基础上探讨了二维无限深势阱的问题，的特征和应用．

关键词：无限深势阱；二维问题；薛定谔方程中图分类号：O413．1

文献标识码：A

文章编号：1000-0712（2015）02-0035-06

无限深势阱是量子力学中最基本而且是最简单

的模型，对了解量子力学理论具有重要的意义，其在教学和科研中都具有基础性的作用．无限深势阱的理论结果在很多实际系统可以获得非常不简单的应用，比如在低维量子系统（如量子点、量子线、量子面等）中的应用．这些低维量子受限体系是近代物理研究的热点，其实际的能级结构一般是比较复杂的，但令人惊奇的是利用无限深势阱所给出的简单结果，完全可以很好理解这些系统的复杂行为．一维无限深势阱现在是任何一本量子力学教［1-4］

材但二维、三维无限深中详细讲解的经典内容，势阱在传统教材中却很少涉及．特别是二维势阱系统在实际的量子体系中是较为常见和重要的模型，比如物理和化学上都比较重要的纳米级单分子薄膜，自组织或分子束外延生成的多层薄膜超晶格结构，现在研究非常多的单层石墨烯系统等，这些二维系统在实际器件制造中都占有重要地位．而这些非常重要的系统都可以简单抽象为单个或多个低维势阱的问题加以研究，其中单个二维无限深势阱是这些问题的最简单最基本的单元．基于以上的事实，本文将具体研究在简单多维无限深势阱中粒子的量子行为．对于多维无限深势阱模型，一个基本的问题是求解在不同边界条件下自由粒子的定态薛定谔方程：

^（r）=－2（r）=E（r）Hψ"ψψ

2m

2

论，系统的边界条件不同，方程将给出系统不同的能级结构和波函数形式．本文将基于以上方程，以无限深势阱为基础模型，仔细研究一维和二维无限深势阱问题的能级结构和波函数问题，以及利用这个非常简单的模型去理解复杂量子系统的基本特征．

1一维无限深势阱和经典驻波

如图1所示的一维无限深势阱虽然是一个理想的模型，但在一定的条件下，很多系统都可以抽象为无限势阱的问题来处理，如图1下部分两段绝缘体中间夹一段理想金属导体的量子线可近似构成这样的体系．考虑质量为m的粒子被很强的势限定于一0，L］中运动，

维有限的空间［该受限粒子稳定的状

（1）

图1

无限深势阱及其近似的物理实现

其中E是粒子总能量．根据偏微分方程的数学理

收稿日期：2014－06－03；修回日期：2014－09－07基金项目：国家自然科学基金项目（11365016）资助

作者简介：夏吾吉（1982—），女，藏族，青海尖扎人，青海师范大学民族师范学院物理系讲师，从事理论物理教学和研究工作．通讯作者：张林：Zhanglincn@snnu．edu．cn

态所对应的能量为分立的：

h222

En=2，3，…．）2n≡ε0n，（n=1，8mL

匀的经典等概率分布．这充分说明了量子现象的出

（2）

现是在一定的分辨率情况下才可以观测得到的量子

化现象．

在量子阱中的波函数形式和经典驻波有非常相似的性质．对于两端固定的弦中传播的经典驻波，其波函数为

t）=Asinφn（x，

（4）L］(nLx)cos（ωt），x∈［0，

其与势其中ε0是无限深一维势阱系统的本征能量，

［5］

阱宽度L和粒子有效质量m有关．很显然能级相对于图2中自由粒子的能量曲线收缩为一些分立的

点．不受约束的一维自由粒子的色散关系是一条抛物线，而约束在无限深势阱中时只能取分立的点，这集中体现了受限系统能量量子化的特点．如果一个电子被约束在宽度为10nm的势阱中，其系统本征能量为ε0=0．0376eV，该能量相当于频率为8．97×1012Hz的光波激发，波长落在远红外区域，大概和分子振动的能量相等

．

其与量子的定态波函数图3给出经典驻波的图像，

形式一致（含时部分取量子定态波函数的实部），但量子的定态波函数不是量子驻波，其仅仅是在阱边界被截断的平面波．两端固定长度为L的弹性弦中传播的经典驻波的能量（不考虑噪声和耗散）为

TA22

n∝n2En=（5）8LT是弦的张力，n为整数取0，其中A是驻波的振幅，

1，2，…．显然其能量也是分立的，而且其大小也正比

2于n，与一维无限深势阱中粒子的定态能量正比于n2非常类似，可见经典驻波和量子阱中的粒子波具

［7］

有类似的性质，但比较式（2）和式（5）可以发现，经典驻波能量量子化连续得依赖于振幅，

而量子情形只与系统受限的尺度有关．

图2一维无限深势阱的能级图

一维无限深势阱中运动的粒子的能量是量子化

［6］的，这是量子行为区别于经典行为的重要特征，量子化产生的根源从数学上来讲来自于微分方程边界条件的约束，而物理上源于粒子波的相干叠加，在阱中来回传播的粒子波叠加稳定后会形成与其能量匹配的定态概率分布．一维无限深势阱中本征定态波函数是在阱边界上截断的三角函数：

ψn（x）=

该函数给出了粒子在势阱中不同位置出现的定态概率分布，在图1中以条形码的方式给出．图1中暗条纹表示粒子出现概率最大的位置，从图中的分布来看粒子能量越高，暗亮条纹的间隔越小，测量该分布变化所要求的分辨率也越高，可以预见能量足够高的时候亮暗条纹将靠在一起而不能区分（考虑到无法去除的量子噪声的影响），这将导致一个处处均

()

nπx，x∈［sin0，L］LL

（3）

图3经典弦中的驻波图像

实际上具有无限深势阱的系统是不存在的，但

在一定的条件下，系统可以近似看作一维无限深势量子线段，一般都可以抽象为单个阱，比如量子点、

有限深势阱的问题来处理．而单个有限深势阱的结果和无限深势阱稍微有些不同，波函数不再是在边界截断的正弦波，而是在势阱边指数衰减的局域波了，而其能级相应于无限深势阱向下有个移动，其所

有的特征都可以用无限深势阱的结果去理解．而近年来研究得比较多的超晶格系统是晶格常数不同的

两种或多种材料交替生长而形成的多层薄膜结构，该系统也可以抽象为多个有限深方势阱的问题．超晶格量子阱虽然由能隙不同的材料组成可以形成复

“抛物线”杂的势阱，如台阶的势阱和正弦平方势阱，但该系统整体的基本特征完全可以通过多个

有限深势阱的问题获得很好理解．等

［8］

y）=Csinnxψnx，ny（x，

(

ππ

xsinnyyab

)()

（8）

C是归一化常数．同样由于边界条件的约束，相应二维平面波函数的能量取分立的值：

Enx，ny

2

n2+n2a2b2==ε0nx+ε0ny，2x2y2mab

(

22

)

ny=1，2，3，…nx，

（9）

显然以上结果是一维情况的直接推广，相似的讨论

可以自然推广到二维和三维的情况．

二维系统和一维的主要区别在于出现了能级的

a

简并问题．根据能级式（9），采用ε0进行能量标度，可以得到

E'nx，ny

ε02

=n+an2y=nx+

ε0

2x

b

2二维无限深势阱问题

如果粒子被限制在一个平面内运动，比如电子被限制在一个很薄的金属薄膜上，这就形成一个典型的二维受限体系．在一定的边界限制下，该系统可抽象为一个二维无限深势阱问题．对于此类平面二维定态薛定谔方程的求解，我们可以选取不同的坐标系统，如笛卡尔坐标系或及坐标系．选择合适坐标系决定于平面二位问题所涉及到的势场对称性和边界条件，如势场是圆心对称的或者边界是圆形的，选取极坐标往往会使问题的求解大大简化．对于二维无限深势阱，我们往往只考虑边界的形状来选择合适的坐标系．

2．1二维无限深方势阱及其简并度

0＜y＜b若自由粒子在如图4所示的0＜x＜a，

的方形势阱中运动，选择笛卡尔坐标，阱内粒子定态薛定谔方程为

2

+－y）=Eψ（x，y）ψ（x，2mx2y2

()n

ab

2

2y2

=n2x+rny（10）

2

不失一般性其中r=（a/b）称为阱的几何参数比，

可以令r是r≥1的实数．对一个特定的能量E'，该

能量的简并度就变成求解参数方程

x2+ry2=Z

（11）

的整数解的问题．即在给定r和Z的情况下，求解不定方程有多少组（x，y）的整数解．该问题数学上一般没有通解（特定的问题除外如勾股定理），但我们可以利用网格图的方法去确定简并度．作为一个例，子，如果给定一个二维势阱a=则r=2，总的能量简并方程为

2

E'=n2x+2ny

（12）

(

22

)

（6

）

如果总能量给定为E'=27，则该能量的能级曲线如

图5所示．图中曲线和整数的网格的交点有两个（箭头所指的坐标），自然给出两组简并的解：

nx=3，ny=3；nx=5，ny=

1

图4二维无限深方势阱

在阱外V=#，波函数由于粒子被限定在方形阱内，

y）=0．方程（6）用分离变量法的边界条件ψ（x，

y）=f（x）g（y）可以得到分离的两个一维方程：ψ（x，

22

f（x）g（y）2

=－kxf（x），=－ky2g（y）（7）22

xy

图5二维无限深方势阱的能级简并图

根据一维无限深势阱的结果很容易给出二维的解：其所对应的归一化波函数为

y）=ψ3，3（x，

2ππ

（3x）sin（3y），

ab（13）

2ππyy）=（5x）sinψ5，1（x，ba二维方阱中的能量简并问题，可以用来进行基

于物理系统的量子计算．比如在a=b对称的正方形阱中，定态能量方程变为

Z=x2+y2

（15）

()

y）和ψ5，图6（a）与图6（b）分别给出了ψ3，3（x，1（x，y）的概率分布，而图6（c）的分布是前两个波函数的叠加态的概率分布，其波函数为

y）+cosθψ5，y）（14）y）=sinθψ3，ψ（x，3（x，1（x，图6（c）中取θ=π/4为等概率叠加情形．虽然叠加态ψ概率分布与前两个都不相同，但波函数的能量依然是E'=27（简并空间线性组合的封闭性）．如果一个电子（或稀薄电子气）被约束在方形势阱中，就会使得具有一定能量的电子在阱中形成的电子云分布有不同的形状，而这些能够稳定存在的构形可以具有相同的能量．这对学生理解后面氢原子的简并电子云形态有很大的帮助作用．

式（15）的数学问题是：给定一个整数Z可否找到一

y解，组整数的x、这是一个数论的典型问题（大数分

解）．该问题的求解可以通过物理上的测量给出答案．把一个二维约束系统准备在基态上，然后用一定的能量激发该系统，系统粒子获得一定能量后形成一定的概率分布，如果这个概率分布趋于稳定，其一定落在一个两个方向都能量量子化的状态，通过测量x或y任意一个方向的概率分布的波节数（比如用扫描隧道显微镜进行概率分布的测量），这样就可以找到Z数的一个可能的整数分解，这个实验重复足够多次以后就可以把所有的整数解都找到．但实际上存在的问题依然是如何保持系统的相干性而不让定态波函数很快弛豫，也就是说能让概率分布保持足够的时间得以完成不同方向分布的测量．2．2

二维无限深圆势阱

如果粒子的约束边界变成半径为Ｒ0的圆形，即r＞Ｒ0处V（r）=#．则粒子能量r≤Ｒ0处V（r）=0，本征方程为

（"2+k2）ψ（r）=0，k=

可采用平面极坐标形式求解：

2

（16）

1122

r+2ψ（r，θ）=0（17）2+krrrrθ

θ）=Ｒ（r）Θ（θ）可以给出：利用分离变量ψ（r，

[

()

]

νd2Ｒ（r）1dＲ（r）2

k－++Ｒ（r）=0（18）

rdrr2dr2

d2（）

+ν2Θ（θ）=0（19）2

dθ

一般为实数．方程（19）的其中ν是分离变量参数，

i

解Θ（θ）∝eνθ解并不影响粒子在阱中的概率分布，最重要的是式（18），它可以转化为贝塞尔方程：

z2－ν2］z2ω″（z）+zω'（z）+［ω（z）=0（20）Ｒ（r）=ω（z）．无论ν是不是整数，其中z=kr，根据贝

塞尔函数的渐进性质，式（18）满足边界条件的解为Ｒ（r）=CJν（kr），ν≥0

C为归一化参数．同样根据边界条件的约束：

Jν（kＲ0）=0

图6

二维无限深方势阱内粒子能量为27（ε0）时所对应的简并概率分布．叠加态的分布取θ=π/4．

a

(

2

)

（21）（22）

它是由贝塞尔函数的零可以给出系统分立的能级，

点解决定的．图7计算了平面圆形无限深势阱中的

波函数概率分布图像．图7中的（a）是IBM研究人员利用扫描隧道显微镜在金属表面不同形状的围栏

中电子表面分布的STM图像；（b）是圆形量子阱中粒子的概率分布的三维图，图中给出的是基态的分布；（c）

给出的是粒子处于第一激发态时二维的概率密度图．从图中可以发现理论计算的结果和实验的结果非常接近，表明了无限深方势阱中相干驻波的叠加对理解量子受限体系中粒子表现出的强烈波动性质具有重要的意义．理论计算和实际的测量之间存在的误差主要由以下两个方面造成：1）无限深势阱的假设，实际上原子栅栏是有限深势阱；2）量子噪声或噪声涨落没有考虑，噪声会降低理想驻波的空间分辨率，使得计算的分布图像更模糊一些．对于图7（a）中的其他边界条件的围栏，如等边

［10］［11］

虽然理论上严格考三角形和六边形等势阱，

虑时会非常复杂，但同样我们可以通过求解不同边

界约束下的薛定谔方程进行计算．一般地，根据量子力学完备性理论，任何二维平面问题的波函数都可以展开为二维方势阱波函数的线性叠加，根据边界

处为零的条件可以决定叠加的系数，从而可以给出不同的边界条件下系统的概率分布和能量量子化

关系．

3结论

本文通过对简单边界情况下无限深势阱问题的深入讨论，强调了量子力学教学中无限深势阱问题的重要意义．通过和经典驻波的比较，深入讨论了一维无限深势阱的能级结构和粒子在阱内的分布，使得学生能够更好理解能量量子化的形成以及利用无限深势阱去理解量子点、量子线以及超晶格等问题．在简单的二维方势阱中讨论了粒子的概率分布，并把结果和实验的探测结果相比较，在该系统上使得学生更加理解物质的波动性质，对二维问题简并度的讨论可以延伸出对量子计算的直观理解，从而为学习更为复杂的量子力学体系建立一个牢固可靠的认知基础．

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图7二维势阱的概率密度分布图