参考答案

参考答案

1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．

证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点， ∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE， ∴△BAE≌△CDE， ∴BE=CE；

（2）延长CD和BE的延长线交于H， ∵BF⊥CD，∠HEC=90°， ∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90° ∴∠EBF=∠ECH， 又∠BEC=∠CEH=90°， BE=CE（已证）， ∴△BEG≌△CEH， ∴EG=EH，BG=CH=DH+CD， ∵△BAE≌△CDE（已证）， ∴∠AEB=∠GED， ∠HED=∠AEB， ∴∠GED=∠HED， 又EG=EH（已证），ED=ED， ∴△GED≌△HED， ∴DG=DH， ∴BG=DG+CD．

2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

（1）证明：∵HE=HG， ∴∠HEG=∠HGE， ∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，

∴HE=GC， ∵∠HBE=∠CFG=90°． ∴△EBH≌△GFC；

（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°， ∴AD=DF， ∵DF=DC﹣FC， ∵△EBH≌△GFC， ∴FC=BH=1， ∴AD=4﹣1=3．

3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长

线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积； （2）求证：BD=EF+CE． （2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE． （1）解：∵AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA， ∵DC∥AB， ∴∠DCA=∠CAB， ∴

，

∵DC∥AB，AD=BC， ∴∠DAB=∠CBA=60°， ∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°， ∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°， ∵BE⊥AB， ∴∠ABE=90°， ∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°， 在Rt△BCE中，BE=2CE=2，

，

（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M， ∴四边形FDME是矩形， ∴FE=DM， ∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°， ∴△BME≌△ECB， ∴BM=CE， ∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）

4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且作EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

．过点E

解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图）， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC， ∵EF∥CA，EG∥CA， ∴四边形ACEG是平行四边形， ∴AG=CE， 又∵∴

，AD=BC，

，

∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠ECF，

在△CEF和△DGF中， ∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG， ∴△CEF≌△DGF（AAS）， ∴CF=DF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∴OF∥BE．

（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形． 证明：∵OF∥CE，EF∥CO， ∴四边形OCEF是平行四边形， ∴EF=OC， 又∵梯形OBEF是等腰梯形， ∴BO=EF， ∴OB=OC， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．

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5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于

E，

延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=（1）求线段CD的长；

，CF=6．

（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC． （1）解：连接BD， 由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°， 又∵BF⊥CD， ∴∠DFE=90° 又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF， ∴△GAD≌△EFD， ∴DA=DF， 又∵BD=BD， ∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL）， ∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF 又∵CF=6， ∴BC=

，

又∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠BDF=∠CBD， ∴CD=CB=8．

（2）证明：∵AD∥BC， ∴∠E=∠CBF， ∵∠HDF=∠E， ∴∠HDF=∠CBF， 由（1）得，∠ADB=∠CBD， ∴∠HDB=∠HBD， ∴HD=HB，

CBD CDB

CBD HDF CDB CBH即 BDH= HBD HB=HD

∴△CDH≌△CBH， ∴∠DCH=∠BCH， ∴∠BCH=∠BCD=

=

．

6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm，

，求梯形ABCD的面积；

（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求

证：HD=BE+BF．

解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图， 在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB=∴AC=10， ∴BC=8，

在Rt△CDM中，∠D=45°， ∴DM=CM=AB=6， ∴AD=6+8=14，

∴梯形ABCD的面积= （8+14） 6=66（cm2）；

=，

（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，