经典小波理论的源流与发展

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经典小波理论的源流与发展

９６ｓ，ｒＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥ

高等数学研究

ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ

Ｖ０１．１３．Ｎｏ．１Ｊａｎ．．２０１０

经典小波理论的源流与发展

郑勋烨

（中国地质大学（北京）信息工程学院，北京。１０００８３）

摘

要

对经典小波理论的起源和发展做综合性回顾与评介，包括其傅立叶分析的渊源、Ｈａｓｒ小波、奇异积

分算子及信号处理领域的背景，扼要论述了小波变换、多尺度分析和Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波的建立与主要思想，并简略提及了当前出现的小波理论若干新趋势如双正交小波等．

关键词

小波变换；小波基；多尺度分析；Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波．

中图分类号

０１７４．２

１９９８年，美国迪斯尼公司首映了一部长篇电脑动画电影《昆虫世界》，其中应用了一种全新的塑模技

纯频域的分析方法，反映平稳信号在全部时间下的总体频域特征，却不能定位局部时间段上的频率信息．比如敲动音叉可获得频率单一的持久的纯音，亦即信号是集中于小频带或频率局部化的；相反，一个脱口而出的词语作为不同频率音节的组合只持续极短的时间，因而是时间局部化的．不同领域的研究者发展了在不同分辨率下对信号进行时间局部化分解的技巧，这些思想汇合成为小波分析的渊源．

１９０９年，匈牙利数学家啥尔（ＡｌｆｒｅｄＨａａｒ）发现了由正负脉冲构成的最简单的首例小波．它的小波母函数如下定义：

ｒ

１

艺——有小波加盟的多尺度分析．对于摄影师们来

说，多尺度分析早已是他们的拿手好戏．在电影大师希区柯克（ＡＩｆｒｅｄＨｉｔｃｈｃｏｃｋ）的悬念片《海外特派

员））（ＦｏｒｅｉｇｎＣｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｔ）中，女主角琼斯坐在飞

机里，镜头从云雾弥漫的天空延伸到舷窗内，我们的视线也从漫不经心地仰眺大气层逐渐专注于美丽女孩的凉帽．在他另一部作品《眩晕）｝（Ｖｅｒｔｉｇｏ）的片头里，占据画面的景象由一只瞳孔扩展为旋转的教堂扶梯．人类视觉捕捉对象的过程就是一个多尺度分析的过程，然而小波参预其中却是近来之事．但每个新生儿都有海猿时代的祖先，小波的历史由来已久．

１

ｆ１，０≤ｔ≤寺；

厶

Ｆｏｕｒｉｅｒ分析和早期探索

ＢａｐｔｉｓｔＪｏｓｅｐｈ

９Ｈ（￡）２

１—１，一百１≤ｆ≤１Ｉ

Ｉ【０，

厶

１８０７年，法国数学家傅立叶（Ｊｅａｎ

Ｆｏｕｒｉｅｒ）发现周期函数或波可表示为不同频率三角波（正弦或余弦波）的无穷级数，对于非周期函数，有Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，自此以后，Ｆｏｕｒｉｅｒ变换与Ｆｏｕｒｉｅｒ级数成为经典数学必不可少的基石，并统治着线性时不变信号处理．１９世纪Ｆｏｕｒｉｅｒ分析臻于完善，但在复原具有突变或瞬态特征的信号时遇到了困难．因为它是

收稿日期：２００８一０５—０９．

作者简介：郑勋烨（１９７５－－），男，讲师，研究方向为小波分析与信号处

理、数值分析、教学建模等．Ｅ—ｍａｉｌＩｘｙｚ＠ｃｕｇｂ．ｅｄｕ．ｃｎｏ●?：Ｈ●：Ｈ?：Ｈ?Ｃ’●ｏ●‘ＣＨ●：Ｈ‘Ｃ’●●：Ｈ●●＝Ｈ●ｏ●?ｏ’●ｏ●‘：Ｈ?ｏ?●ｏ●ｏ●?ｏ一

其他．

Ｇａｂｏｒ

１９４６年，一位英匈混血的数学家Ｄｅｎｎｉｓ

ｒ∞

引入了高斯型加窗Ｆｏｕｒｉｅｒ变换即Ｇａｂｏｒ变换：

（Ｇ丁）（ｃＩＪ，６）一Ｉ

ｆ（ｔ）ｇ（ｔ一６）ｅ－ｋｄｔ，

它使信号，的Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在时间窗中心ｔ＝ｂ附近局部化，将其信号分解为时频包．其中的窗口函数可取Ｇａｕｓｓｉａｎ类函数

ｇ口（幻２方≯毛?二Ｖ嬲

［２］Ｍａｔｓｕｍｕｒａ

ｃｏｍｐｅｔｉｔｉｏｎ

ｌ

来指导投资方向和捕捉企业移动数据市场商机，创建可行的商业模式，引入民主化的政府监管机制，监控企业之间的恶性竞争，通过服务差异化等策略才能实现“共赢”效果，避免价格悲剧．

参考文献

Ｔ．ＣｏｕｒｎｏｔＩｎｖｅｎｔｏｒｙ口ｓ

ｄｕｐｏｌｙ

４

ｗｉｔｈ

ｍｕｌｔｉ２ｐｅｒｉｏｄ

ｃｏｏｒｄｉｎａｔｉｏｎ

ｄｅｖ／ｅｅ［Ｊ］．

ＡｕｓｔｒａｌｉａｎＥｃｏｎｏｍｉｃＰａｐｅｒｓ，１９９９。３８（３）１１８９—２０２．

Ｅ３］ＨｕｃｋＳ，ＭｕｌｌｅｒＷ，Ｎｏｒｍａｎｎ

ｃｏｍｍｉｔ：Ｅｎｄｏｇｅｎｏｕｓｔｉｍｉｎｇ

ＨＴ．Ｔｏｉｎ

ｃｏｍｍｉｔ

ｏｒｎｏｔｔｏ

ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｄｕｏｐｏｌｙ

ｍａｒｋｅｔｓ［Ｊ］．Ｇａｍｅｓ

３８（２）ｚ２４０——２６４．

ａｎｄ

ＥｃｏｎｏｍｉｃＢｅｈａｖｉｏｒ。２００２，

［１３

Ｈａａｎ

Ｍ．ＭａｒｋｓＨ．ＳｔａｃｋｅｌｂｅｒｇａｎｄＣｏｕｒｎｏｔｃｏｍｐｅｔｉｔｉｏｎ

ｌｉｍｉｔ

埘ｄｆｒｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ

ｐｒｉｃｉｎｇ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ

ｏｆＥｃｏｎｏｍｉｃ

［４２徐晋．廖刚，陈宏民．多寡头古诺竞争与斯塔尔博格竞争的

对比研究［Ｊ］．系统工程理论与实践．２００６（２）。４９—５４．

Ｓｔｕｄｉｅｓ．１９９６．２３（５／６）。１１０——１２７．

万方数据

第１３卷第１期郑勋烨：经典小渡理论的源流与发展９７以能量有限函数面与其Ｆｏｕｒｉｅｒ变换作为窗口函数的其中ａ为尺度因子，ｂ为平移参数．它的实际意义是表加窗Ｆｏｕｒｉｅｒ变换示了函数与小波的平移伸缩系的相关度，因而上述

（Ｇ丁）（∞，６）＝Ｉ厂（￡）Ｏ（ｔ一６）ｅ－ｋ山，ＣＷＴ也称为相关型小波变换．连续小波变换具有如

下主要的性质：

称为短时Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＳＦＴ）．性质ｌ（线性性质）设ｆ（ｔ）ａｇ（￡）＋犀（ｚ），则

２０世纪７０到８０年代，数字信号与图像处理领域

的学者引入了各自版本的小波分析．１９７６年，ＩＢＭ的（Ｗ／）（口，６）＝ａ（Ｗ，ｇ）＋卢（Ｗ乒）．

性质２（平移不变性）若八￡）一（ＷＪ）（口，６），则

工程师ＣｌａｕｄｅＧａｌａｎｄ和ＤａｎｉｅｌＥｓｔｅｂａｎ发明了用于ｆ（ｔ—ｆ）一（ｗ。厂）（口，ｂ—ｒ）．

数字电话的子带编码和能够精确消除混淆现象的正平移不变性是一个很好的性质，在实际运用中，交镜像滤波器（ＱＭＦ）；１９８１年，Ｊ．Ｓｔｒｏｍｂｅｒｇ以分段尽管离散小波变换要用的广泛一些，但在需要有平移线性函数改进了Ｈａａｒ正交小波基ｆ１９８２年，麻省理不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的．工的ＥｄｗａｒｄＡｄｅｌｓｏｎ和ＰｅｔｅｒＢｕｔｔ为图像压缩发展

了金字塔算法；１９８３年，Ｍ．Ｓｍｉｔｈ，Ｔ．Ｂａｒｎｗｅｌｌ和Ｆ．性质３（伸缩共变性）若厂（￡）一（ＷＪ）（口，６），则

１

Ｍｉｎｔｚｅｒ发现了具有优良重构的共轭正交滤波器ｆ（ｃｔ）＋＋圭（Ｗｖｆ）（ｃａ，ｃｄ）（ｃ＜Ｏ）．√ｃ

（ＣＱＦ）．所有这些独立进行的工作使用的方法有共３多尺度分析

同特征，即将信号分解为时频原子的平移伸缩系的线１９８５年春，法国著名数学家迈耶（ＹｖｅｓＭｅｙｅｒ）性组合，使人们能在任意时间段以不同分辨率对信号偶然听说了Ｇｒｏｓｓｍａｎｎ和Ｍｏｒｌｅｔ的工作，敏锐地意进行时频定位．小波理论自立门户的时机渐趋成熟．识到他们的分解重构公式是Ｃａｌｄｅｒｏｎ—Ｚｙｇｍｕｎｄ调

２小波变换和分析中奇异核积分算子再生公式的别裁，而奇点事地震信号有许多瞬态突变点，用古典Ｆｏｕｒｉｅｒ分实上正是高频极端局部化的表现．传统观念认为，为析难以处理；同时，在高频探测时，若脉冲波持续时间了同时获得时频的良好局部化，冗余性是不可避免太长，便不可用于分辨密集地层结构．法国地震学者

Ｊｅａｎ的．出于数学家的本能，他想证明这一流行说法．几周Ｍｏｒｌｅｔ在解决这一问题时，找到了一种替代短后他却做了证伪的工作一一他构造出了没有冗余的时Ｆｏｕｒｉｅｒ变换（ＳＦＴ）的方法，首次引入了他称之为

“稳态小波”的变换函数．但当时他的发现不在数学标准正交小波基，在时频均有良好局部化，第一例小

波基就此诞生了．不久，Ｌｅｍａｒｉｅ和Ｂａｔｔｌｅ各自独立地

教科书中，因而饱受质疑．他向量子物理学家Ａｌｅｘ

Ｇｒｏｓｓｍａｎｎ求助，Ｇｒｏｓｓｍａｎｎ为他的积分变换构造了以截然不同的方式构造了小波基，比Ｍｅｙｅｒｄｘ波基有反演公式，一起探讨了其多方面应用．在两人１９８４年更快的衰减，代价是正则性的损失，从伊降为ｃＩ．他们的构造都非常精巧．１９８６年夏，年轻的法国计算机合作的论文中，首次正式创造了“小波”（ｗａｖｅｌｅｔ）的

提法，从此却在科技史上产生了类似蝴蝶效应的伟大图形学家马拉（ＳｔｅｐｈａｎｅＭａｌｌａｔ）趁Ｍｅｙｅｒ访问芝加变革．哥之际前去拜望，两人在随后几天里研讨了多分辨分

他们对小波的原始定义是：一个小波是一个能量析（ＭＲＡ）的所有细节，它是构造标准小波基的工具有限的函数９（￡）∈Ｌ２（Ｒ），其Ｆｏｕｒｉｅｒ变换对几乎所箱．的确，存在不适于此ＭＲＡ建构的病态小波，但有ａ∈Ｒ满足Ｌｅｍａｒｉｅ和Ｐ．Ａｕｓｃｈｅｒ在１９９２年证明，若小波基有任

何合理的时频局部化性质，必定源自一种ＭＲＡ．更

Ｊｆ”Ｉ垒（黝）ｆ一１

叫一工’ｏ重要的是，ＭＲＡ为函数的小波分解提供了从其最佳

其必要条件是尺度逼近出发的迭代算法．

仁如地一０，设｛Ｋ）Ｊ∈ｚ为Ｌ２（Ｒ）的子空间，｛ｖ：ｉ）ｊ∈ｚ称为

Ｌ２（Ｒ）的一个多分辨率分析（ＭＲＡ），若满足：

这一条件正是容许性条件（ＡｄｍｉｓｓｉｂｌｅＣｏｎｄｉｔｉｏｎ）．１）一致单调性：

如果定义小波的平移伸缩系…Ｃ％ＣＶｌＣＵＣＵｌＣ…；

灿∽一Ｉ口ｌ一｛９（譬），２）渐近完全性：

则相应于此容许小波的连续小波变换（ＣＷＴ）可视为Ｊ∈ＺｎⅥ＝（０），Ｕ。。

ｊ∈ｚＫ＝Ｌ２（Ｒ）Ｉ

一种Ｈｉｌｂｅｒｔ内积：３）伸缩规则性：

（ｗ，）（口，６）＝Ｉ厂（￡）∈ｕ铮厂（２￡）∈、，■ｌ（歹∈Ｚ）；，（ｔ）弛。６（ｔ）ｄｔ．４）平移不变性：对所有竹∈Ｚ，有万方数据

９８高等数学研究２０１０年１月

，（￡）∈ｙｉ净厂（￡一２－ｉ’∈Ⅵ；

５）Ｒｉｅｓｚ基存在性：存在尺度函数９（￡）∈眠，使得（ｑ（２－’ｔ一忌））＾∈ｚ构成无条件Ｒｉｅｓｚ基．

对应于Ｍｅｙｅｒ和Ｌｅｍａｒｉｅ小波基的滤波器是无限脉冲响应型（ＩＩＲ）的，必须根据实际需要加以截断．人们会问怎样获得不需要此种截断的小波基？答案是逆向工作一一不是从理论上构造的小波基推导滤波器，而是首先构造一对恰当的有限脉冲响应滤波器（ＦＩＲ），再考察它们是否相关于一个小波基．这是

正交小波，其图像具有惊人的分形（ｆｒａｅｔａｌ）特性：无论将波形在哪个尺度放大，总能看到相同特征的跳跃摆动，亦即小波在“克隆”自身．然而最小相位平方根选取的原则让对称性消失了，Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波的相貌显得奇异另类，正像鬼怪式战机和Ｔ型福特跑车，它优美只是因为它有效．这让始终痴迷自然界完美对称的数学家们心有不甘．但事实上，紧支正交尺度与小波函数若是对称或反对称的，则必为由一阶基数Ｂ样条函数生成的性能不佳的Ｈａａｒ小波，因而从单个ＭＲＡ构造有良好时频分析特性的“对称”小波是不可能的．为了获得更好的对称性，Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ对自己的小波体系进行了各种改良，获得了ｓｙｍ小波．随后，由对偶尺度函数生成的双正交小波族（Ｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｗａｖｅｌｅｔｓ）也应运而生了．

４．２

紧支小波正交基构造的发轫之始．数年后，Ａｌｂｅｒｔ

Ｃｏｈｅｎ和Ｗ．Ｌａｗｔｏｎ给出了可衍生标准正交小波基

的滤波器的完整刻画．

Ｍｅｙｅｒ从调和分析的观点出发以不等式的形式建立了小波逼近与函数光滑性的联系，所有的不等式只用小波系数的绝对值而不涉及符号（实情形）或相位（复情形）．小波为许多类泛函空间，如Ｌｅｂｅｓｇｕｅ、Ｓｏｂｏｌｅｖ、Ｈａｒｄｙ、ＢＭＯ和Ｈｏｌｄｅｒ空同，提供了无条件基（Ｒｉｅｓｚ基）刻画，已应用到传统数学领域的各方面，如Ｗ．Ｄａｈｍｅｎ的数值分析、Ｒ．Ｄｅｉｏｒｅｌ的非线性逼近、Ｄ．Ｄｏｎｏｈｏ的统计学等．

４４．１

ｓｙｍｌｅｔｓ（ｓｙｍＮ）小波族

小波的构造类似于ｄｂ小波族，两者的差别在于Ｓｙｍ小波有更好的对称性，更适合于图像处理，减少重构时的相移．Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ在构造ｄｂ小波的时候采用了如下的简单思想；就是在尽可能在保持ｄｂ小波简单性的基础上提高小波的对称性．考虑构造ｄｂ小波使用的ｍ。函数，若将其看作Ｚ—ｅ妇的函数Ｗ，则在构造Ｗ的过程中采用不同的方式就可以得到性质不同的小波．我们定义ｗ满足如下的形式：

Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波和其他经典小波体系Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ小波族

１９８７年，比利时女数学家ＩｎｇｒｉｄＤａｕｂｅｅｈｉｅｓ构造出一族全新的小波基，不但正交而且具有紧支撑，最大的优点是能通过有限脉冲响应共轭镜像滤波器（ＦＩＲＣＭＦ）实现．信号处理学家们找到了梦寐以求的工具，小波打开了从理论到软件应用的光明之门．Ｄａｕｂｅｅｈｉｅｓ小波族在ＭＡＴＬＡＢ软件中通常简写为ｄｂＮ，其中Ｎ表示阶数，ｄｂ是小波名称的前缀．ｄｂ小波族的支集和滤波器长度都是２Ｎ左右，消失矩为Ｎ，可见这序列的小波扩展性比较好，可以比较灵活地权衡增加支集长度（为了提高能量的集中程度）带来的边界问题．ｄｂ小波虽然没有解析形式的表达式，但其双尺度差分方程的系数ｋ可以用很简单的解析式表达．

Ｄａｕｂｅｅｈｉｅｓ小波是首例可直接操作的光滑紧支

—■可

＼厶，

Ｗ（名）＝Ｖ（Ｚ）Ｖｆ÷１，

这样Ｗ就可以看做一个“最小相移”的滤波器，若令、厂（ｚ）的根的模平方小于１，就得到了ｄｂ小波；若大于１，得到的就是Ｓｙｍ小波．

对比可以看出，Ｓｙｍ小波族有更好的对称性．其他的性质如连续性、支集长度、滤波器长度都与ｄｂ小波族一致．

４．３

Ｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ小波族

双正交小波（或称半正交小波）与正交小波的区别在于正交小波满足（仍ｔＩ＇伫。。）＝＆ｄｈ，也就是对小波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交，而双正

ｄｂ２

ｄｂ３

圈ｌＤａｕｂｅｃｈｉｅａ?１、波族图形

万方数据

第１３卷第１期郑勋烨：经典小波理论的源流与发展９９

ｏｙｍ２ｓｙｒｎ３

图２Ｓｙｍ小波图形

图３Ｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ小波族图形

ｅｏｉｆｌ∞ｉｆ２ｅｏｉｆ３

圈４Ｃｏｉｆｌｅｔ（ｃｏｉｆＮ）小波族图形

交小波满足的正交性为（仍．ｔ，卿，。）一颤，也就是对不同英国小说家吉卜林（Ｋｉｐｌｉｎｇ）常言，那是“另一个故事尺度伸缩下的小波函数之间有正交性，而尺度之间通（ａｎｏｔｈｅｒｓｔｏｒｙ）”了．过平移得到的小波函数系之间没有正交性，所以用于参考文献分解和重构的小波不是同一个函数，相应的滤波器也［１］［美国］崔锦泰．小波分析导论［Ｍ］．程正兴译．西安。西不能由同一个小波生成．安交通大学出版社。１９９７．

双正交小波的这种性质在信号的相移之间保留［２］Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓ，Ｉｎｇｒｉｄ．ＴｅｎＬｅｃｔｕｒｅｓｏｎＷａｖｅｌｅｔｓ［Ｍ］．了一部分的冗余（Ｒｅｄｕｎｄａｎｅｙ），在信号的重构中很Ｍｏｍｐｅｌｉｅｒ：ＣａｐｈａｌＣｉｔｙＰｒｅｓｓ。１９９２．有用处．它有着正交小波不具备的优点，可以通过有［３］Ｍａｌｌａｔ，Ｓｔｅｐｈａｎｅ．ＡＷａｖｅｌｅｔＴｏｕｒｏｆＳｉｇｎａｌ限脉冲响应滤波器（ＦＩＲ，ＦｉｎｉｔｅＰｒｏｃｅｓｓｉｎｇ［Ｍ］，ＳａｎＤｉｅｇｏ：ＡｃａｄｅｍｉｃＰｒｅｓｓ。１９９８．

ＩｍｐｕｌｓｅＲｅｓｐｏｎｓｅ）

来精确地重构信号．［４］Ｍｅｙｅｒ，Ｙｖｅｓ．ＷａｖｅｌｅｔｓａｎｄＯｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｍ］，ＣａｍｂｒｉｄｇｅＩ

ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９２．

４．４Ｃｏｉｆｌｅｔ（ｅｏｉｆＮ）小波族［５］Ｉ）ａｕｂｅｃｈｉｅｓ，Ｉｒｇｒｉｄ．ｗｋ您ｄｏｖ．．ｎｖｅ／ｅｔＪ∞船ｆｒｏｍ？一Ａ这是由Ｄａｕｂｅｅｈｉｅｓ提出的另一个小波系，有更ｐｅｒ∞ｎａｌｐｏ／ｎｔｏｆｔ眺［阅，ＰｒｉｎｃｅｔｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，１９９８．长的支集长度（６Ｎ一１）和更大的消失矩（２Ｎ），对称［６］ＦａｒｇｅＭ．Ｗａｖｅｌｅｔｓ，Ｆｒａｃｔａｌｓ，ＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍｓ［Ｍ］。性比较好．ＯｘｆｏｒｄｌＣｌａｒｅｎｄｏｎＰｒｅｓｓ，１９９３．

小波的历史还在继续上演，家族成员还在不断更［７］Ｋａｉｓｅｒ，Ｇｅｒａｌｄ．ＡＦｒｉｅｎｄｌｙＧｕｉｄｅｔｏＷａｖｅｌｅｔｓ［Ｍ］，新，仍有更多的话题有待于人们去分析探讨，但正如ＬｏｗｅｌｌｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＭａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓａｔＬｏｗｅｌｌ．１９９４．

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经典小波理论的源流与发展

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被引用次数：郑勋烨中国地质大学(北京)信息工程学院,北京,100083高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2010,13(1)1次

参考文献(7条)