高中数学竞赛特级教师培训教材(49页)
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高中数学竞赛特级教师培训教材(49页)
高中数学竞赛培训教材
(一)集合与容斥原理
集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课,而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上,而要随着数学学习的进程而不断深化,自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词,主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系,表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键
例1.设A={X∣X=a2+b2,a、b∈Z},X1,X2∈A,求证:X1X2∈A。
分析:A中的元素是自然数,即由两个整数a、b的平方和构成的自然数,亦即从0、1、4、9、16、25??,n2,??中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数,本题要证明的是:两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式,即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2,M,N∈Z
证明:设X1=a2+b2,X2=c2+d2,a、b、c、d∈Z.则X1X2=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=a2c2+2ac²bd+b2d2+b2c2-2bc²ad+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2 又a、b、c、d∈Z,故ac+bd、bc-ad∈Z,从而X1X2∈A
练习:
1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证:S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证:(1)一切奇数属于M;
(2)4k-2(k∈Z)不属于M;
(3)M中任意两个数的积仍属于M。
3.已知函数f(x)=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.
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(1)求证:AB;
(2)若A={-1,3}时,求集合B.
二、集合中待定元素的确定
例2.已知集合M={X,XY,lg(xy)},S={0,∣X∣,Y},且M=S,则(X+1/Y)+(X2+1/Y2)+??+(X2002+1/Y2002)的值等于( ).
分析:解题的关键在于求出X和Y的值,而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题,要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解,对于两个相等的有限集合(数集),还会用到它们的简单性质:(a)相等两集合的元素个数相等;(b)相等两集合的元素之和相等;(c)相等两集合的元素之积相等.
解:由M=S知,两集合元素完全相同。这样,M中必有一个元素为0,又由对数的性质知,0和负数没有对数,所以XY≠0,故X,Y均不为零,所以只能有lg(XY)=0,从而XY=1.∴M={X,1,0},S={0,∣X∣,1/X}.再由两集合相等知
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当X=1时,M={1,1,0},S={0,1,1},这与同一个集合中元素的互异性矛盾,故X=1不满足题目要求;
当X=-1时,M={-1,1,0},S={0,1,-1},M=S,从而X=-1满足题目要求,此时Y=-1,于是X2K+1+1/Y2K+1=-2(K=0,1,2,??),X2K+1/Y2K=2(K=1,2,??),故所求代数式的值为0.
练习:
22222a,a,a,a,aA?a,a,a,a,aB?a,a,a,a,a12345123454.已知集合,,其中12345是正整数,????
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且a1?a2?a3?a4?a5,a1?a4?10,若A?B中的所有元素之和为234,并满足A?B??a1,a4?,
求集合A。
三.容斥原理
基本公式:(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)card(A∪B∪
C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)
问题:开运动会时,高一某班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?
设A={参加游泳比赛的同学},B={参加田径比赛的同学},C={参加球类比赛的同学},则card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,card(A∪B∪C)=28,且card(A∩B)=3,card(A∩C)=3,card(A∩B∩C)=0,由公式②得28=15+8+14-3-3-card(B∩C)+0,即card(B∩C)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人,而只参加游泳比赛的人有15-3-3=9(人)
四、有限集合子集的个数
例3.一个集合含有10个互不相同的两位数。试证,这个集合必有2个无公共元素的子集合,此两子集的各数之和相等。
分析:两位数共有10,11,??,99,计99-9=90个,最大的10个两位数依次是90,91,??,99,其和为945,因此,由10
内容需要下载文档才能查看个两位数组成的任意一个集合中,其任一个子集中各元素之和都不会超过
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945,而它的非空子集却有210-1=1023个,这是解决问题的突破口。
解:已知集合含有10个不同的两位数,因它含有10个元素,故必有210=1024个子集,其中非空子集有1023个,每一个子集内各数之和都不超过90+91+?98+99=945<1023,根据抽屉原理,一定存在2个不同的子集,其元素之和相等。如此2个子集无公共元素,即交集为空集,则已符合题目要求;如果这2个子集有公共元素,则划去它们的公共元素即共有的数字,可得两个无公共元素的非空子集,其所含各数之和相等。
说明:此题构造了一个抽屉原理模型,分两步完成,计算子集中数字之和最多有945个“抽屉”,计算非空子集得1023个“苹果”,由此得出必有两个子集数字之和相等。第二步考察它们有无公共元素,如无公共元素,则已符合要求;如有公共元素,则去掉相同的数字,得出无公共元素并且非空的两个子集,满足条件。
例4.设A={1,2,3,?,n},对XA,设X中各元素之和为Nx,求Nx的总和. 解:A中共有n个元素,其子集共有2n个。A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次,(为什么?因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类,一类是不含i的,它们也都是{1,2,?,i-1,i+1,?n}的子集,共2n-1个;另一类是含i的,只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时,A中每一个元素都加了2n-1次,即出现了2n-1次,故得
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³2n-1=n(n+1)³2n-2 =1³2n-1+2³2n-1+?+n??2n-1=(1+2+?+n)²2n-1=n(n+1)/2
说明:这里运用了整体处理的思想及公式1+2+?+n=(1/2)n(n+1),其理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等,集合中每一个元素都在总和中出现了2n-1次,是打开解题思路之门的钥匙。
练习:
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5.设集合A
值. {1,2,3,??,100},且对任意x,y∈A,必有2x≠y,求集合A中所含元素个数的最大
6.某地区网球俱乐部都有20名成员,举行14场单打比赛,每人至少上场1次.求证:必有6场比赛,其12名参赛者各不相同.
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