华杯赛2015决赛答案_小高B

华杯赛2015决赛答案_小高B

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题B参考答案

（小学高年级组）

一、填空题（每题 10 分, 共80分）

二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）

9. 答案: 不能

解答. 对于 1234567891011以及交换其某两位得到的数, 它们的各位数字之和都为

1 2 3 9 1 0 1 1 48.

因此它们是3的倍数到不是9的倍数, 都不可能是完全平方数.

10. 答案: 3, 12

解答. 将“L”形物体补上立方体M后, 整个长方体体积为

15 5 4 300,

那么M的体积为

300-120 180.

侧面N的的面积为

180 5 36.

又

36=1 36=2 18=3 12=4 9=6 6,

只有 x, y分别为3, 12符合题意.

11. 答案: 5

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解答. 根据题意, 甲与乙的速度之比为23:13. 设跑道的长度为2015, 甲的速度为23m, 乙的速度为13m, 第k次甲追上乙的时刻为t, 则有:

(23 13) mt 2015k, k 1,2,

甲追上乙时, 甲跑的距离是： ,10 , t 2015403k k. 10m2m

23m 201523 403k k. 10m2

按题意, k 10, 且当k = 2, 4, 6, 8, 10时, 甲跑的距离是整数, 5个追及点分别在5个旗子处.

12. 答案: 8

解答. 由两人的得分总和都是31分的条件可知: 赢者胜两局负一局.

设赢者三局得分分别为x1,x2,x3, 负者三局比分为y1,y2,y3, 则

x1 x2 x3 31, y1 y2 y3 31,

且 x1,x3 11, x2 9, y2 11,

y1 y3 20. ( )

首先, x2 9. 否则, x1 x3 11, 因为y1,y3 9, ( )不成立. 所以, x2 8.

其次, x2 8. 否则, x1,x3只能一个是11, 另一个为12, 此时, y1 y3 19, ( )不成立. 所以, x2 8.

当x2 8时, 其它两局的得分可以是

x1 11, x3 20 x2, y1 2 x2, y3 18 x2,

满足( )式.

所以, 第二局的比分共有8种情况, 分别为 11:0 到11:7 .

三、解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程）

13. 答案: 60 cm2

解答. 设S EDM x. 因为DM:MC 1:2, 所以S EMC 2x. 连接BD. 因为AD//BC, 所

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以S DBM S EMC 2x. 进而

EM:MB S EDM:S DBM 1:2.

所以

S BCM 4x, S CBF S BCM S CEM 6x.

由 BM//FC 得S MGC S FGB, 所以

S S FCGSCGS FCMS MGC S FCG3 FGB CBF . GBS MBFS MBG S FGBS MBG S MGCS BCM2

因为

S FCGCG3 , S FGBGB2

所以

318S FCG S CBF x. 55

因为三角形FCG的面积与三角形MED的面积之差为13cm2, 所以

18x x 13, 5

解得x 5. 最终得

S EBC 6x 30 (cm2),

SABCD 2S EBC 60 (cm2).

14. 答案: 8 解答. 在这四个成语里, 五个汉字“一”、“言”、“行”、“举”和“知”都出现两次. 因为5个不同的非零自然数之和最小的两个为15, 20, 11个连续非零自然数之和最小的两个为66, 77, 因此这11个连续自然数只可能为1至11.

因为66加上“一”、“言”、“行”、“举”与“知”所代表的数之和为84, 所以

“一” “言” “行” “举” “知” 18. ( )

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因为五个汉字所代表的数不可能全为偶数（否则其和等于30）, 它们之中有两个奇数、三个偶数或者一个偶数、四个奇数.

对于两个奇数, 三个偶数的情形, 可以断定最小的奇数必为1, 否则, 因为三个偶数之和大于等于12, 这样5个数之和将不小于20, 不可能. 又因为另外一个奇数不可能大于5, 所以得出下列两种情形,

情形1): 1, 2, 3, 4, 8;

情形2): 1, 2, 4, 5, 6.

对于一个偶数, 四个奇数的情形. 因为四个奇数之和大于等于16, “一”、“言”、“行”、“举”与“知”所代表的数只有一种可能,

情形3): 1, 2, 3, 5, 7.

在所有的情形下, “行”可能代表的数最大不会超过8.

由( ) 式以及“言扬行举”、“知行合一”两个成语中的四个汉字所代表的数之和都是21得到

“合” “扬” 24 “行”. ( )

当“行”为8时, 由 ( ) 得“合”与“扬”取自{11, 5}, {10, 6}或{9, 7}. 若取自{11,5}, 则要将1, 2, 3, 4分成两组, 每组两个数, 一组的数之和是2, 另一组的为8. 不可能. 当“合”与“扬”分别为10与6 时, “举”、“言”、“知”“一”分别为1, 2, 4, 3, {“世”,“皆”}与{“之”“家”,}一组是{11, 5}, 另一组的为{9, 7}. 当“合”与“扬”分别为9与7时, “举”、“言”、“知”“一”分别为1, 3, 4, 2, {“世”,“皆”}与{“之”,“家”}一组是{11, 5}, 另一组的为{10, 6}.

综上, “行”可以代表的数最大是8.