第四讲数列补充讲义

第四讲数列补充讲义:

1:已知曲线Cn:x2 2nx y2 0(n 1,2,

)．从点P( 1,0)向曲线Cn引斜率为

（１）求数列{xn}与{yn}的通项公式； kn(kn 0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)．

2: 设a0为常数，且an 3n 1 2an 1(n N)（1）证明对任意

1

n 1,an [3n ( 1)n 1 2n] ( 1)n 2na0；

5

3:设 an 为等比数例，Tn na1 (n 1)a2 2an 1 an，已知T1 1，T2 4。 （Ⅰ）求数列 an 的首项和公式；（Ⅱ）求数列 Tn 的通项公式。

4:设数列 a2*

n 的前n和为Sn,满足Sn 2nan 1 3n 4n,n N，且S3 15， (1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列 an 的通项公式。

5:已知首项都是

1的两个数

列

（），.令

，求数列的通项公式；

(1) 若，求数列的前n项和

.

满

足

答案: 1（1）设直线ln：y kn(x 1)，联立x2 2nx y2 0得

222222

(1 kn)x2 (2kn 2n)x kn 0，则 (2kn 2n)2 4(1 kn)kn 0，∴

2

knnn2

x （ 舍去）x ，即，∴ n22

n 11 kn(n 1)2n 12n 1

kn

nn

2

n

yn kn(xn 1)

n2n 1

n 1

1k

[3 ( 1)k 12k] ( 1)k2a0, 5

2: （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立； （ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则ak 那么ak 1 3 2ak 3

k

k

2k

[3 ( 1)k 12k] ( 1)k2k 1a0 5

1k 1

[3 ( 1)k2k 1] ( 1)k 12k 1a0. 5

也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成

立. 证法二：如果设an 3n 1 2(an 1 a3n 1), 用an 3n 1 2an 1代入，可解出a

3n 是公比为－2，首项为3所以 a1 的等比数列. an

5

5

nn 1n

3n33 ( 1)2n 1

an (1 2a0 )( 2)(n N). 即an ( 1)n2na0.

555

1

. 5

3:（Ⅰ）解：设等比数列 an 以比为q，则T1 a1,T2 2a1 a2 a1(2 q)。∵∴a1 1,q 2。（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知a1 1,q 2，故an a1qn 1 2n 1, T1 1,T2 4，

因此，Tn n 1 (n 1) 2 2 2n 2 1 2n 1，

Tn 2Tn Tn

n 2 (n 1) 22 2 2n 1 1 2n -[n 1 (n 1) 2 2 2n 2 1 2n-1]

∴ -n 2 22 2n 1 2n

2-2 2n

-n

1~2

-n 2n 1 2

(n 2) 2n 1。

解法二：设Sn a1 a2 an。 由（Ⅰ）知an 2

n 1

。∴

Sn 1 2 2n 1 2 1

n

Tn na1 (n 1)a2 2an 1 an

a1 (a1 a2) (a1 a2 an 1 an)

S1 S2 Sn 10分

∴ (2 1) (2n-1) (2n-1)

(2 2n 2n)-n

2 2 2n n

1 2

2n 1 2 n 12分

4:解：S2 4a3 20，S3 S2 a3 5a3 20，又S3 15，

a3 7，S2 4a3 20 8，又S2 S1 a2 (2a2 7) a2 3a2 7，

a2 5，a1 S1 2a2 7 3，综上知a1 3，a2 5，a3 7； （２）由（１）猜想an 2n 1，下面用数学归纳法证明．

①当n 1时，结论显然成立；②假设当n k（k 1）时，ak 2k 1，

则Sk 3 5 7 (2k 1)

3 (2k 1)2

k k(k 2)，又Sk 2kak 1 3k 4k， k(k 2) 2kak 1 3k2 4k，解得2ak 1 4k 6， ak 1 2(k 1) 1，即当

n k 1时，结论成立；由①②知， n N*,an 2n 1．

，

5:（1）因为

,所以

an 1an

2,cn 1 cn 2,bn 1bn

所以数列{cn}是以首项c1 1，公差d 2的等差数列，故cn 2n 1. （2）由bn 3n 1知an cnbn (2n 1)3n 1于是数列Sn 1 30 3 31 2Sn 1 2 (31 32

(2n 1) 3n 1,3Sn 1 31 3 32

前n项和

(2n 1) 3n相减得

3n 1) (2n 1) 3n 2 (2n 2) 3n所以Sn (n 1) 3n 1.