几何

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全等 1.已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，

且OB=OC．

（1）如图1，若点O在边BC上，求证：AB=AC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画出图表示．

2.如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的

距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平

行线上，则这个正方形的面积不可能是

A.1 B.3 C.5 D.9

3.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．已知AC=5，AD=4，则AB的取值范围是________．

4.如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，

∠AFB=51°，求∠DFE度数．

5.如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上（且E，F不与端点重

合），且DE⊥DF，则（倍长过中点的线）

A.BE+CF＞EF B.BE+CF=EF C.BE+CF＜EF D.BE+CF与EF的大小

关系不确定

6.如图所示，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC的度数为

A.70° B.48° C.45° D.60°

7.如图，正方形ABCD内有两条相交线段EF，GH，E，F，G，H分别在边AD，CB，

DC，BA上，小明认为：若EF=GH，则EF⊥GH；小颖认为若EF⊥GH，则EF=GH．你

认为？说明理由。

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8.如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=12，BC=5，一条线段PO=AB，P、O两点分

9.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B

点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F，

（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：______+______=______（不需证明）

（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上问的结论分别是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，那么这三条线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

10.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，小明同学将一个足够大的透明的三角板的直角顶点放在BC的中点D处．

（1）若三角板的两边与△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，求证：△DEF是等腰三角形．

（2）小明同学将三角板绕点D旋转，三角板的两边与△ABC的边AB、AC分别交于点E、F，请你探究四边形AEDF的面积是否变化？若没有变化，请求出四边形AEDF的面积；若有变化，请说明理由．

（3）小明同学继续旋转三角板，如图2，当点E、F分别在AB、CA延长线上时，设BE的长为X

，四边形ADEF的面积为S，请探究S与x的函数关系式．

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11.

轴对称

1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△

ABC成中心对称且也以格点为顶点的三角形共有________个；（不包括△ABC本身）

2.如图，P是∠AOB的平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C，若∠AOB=30°，

PD=2cm，则PC=________cm．

3如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，并交于点P，PD⊥BM于点D，PF⊥BN于点F，求证：BP是∠MBN的平分线．

4.如果一个等腰三角形可以被经过顶点的一条直线分割成两个较小的等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角可以是________．

5.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把周长分为两部分之差为3cm，则腰长为

A.8cm B.2cm C.7cm D.9cm 6.（1）问题探究

如图1，分别以△ABC

的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．

（2）拓展延伸

①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立？（要求：在

图3

中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）

7.在△ABC中，

（1）如图1，BP为△ABC

的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=50，BC=60，请补全图形，并直接写出△ABP与△BPC面积的比值；

（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE，CD与BE相交于点O，求证：BE=CD；

（3）在（2）的条件下判断∠AOD与∠AOE的数量关系，并加以证明．（角平分线的性质、高、面积法）

8..探究问题：

（1）阅读理解：

①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；

②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB?CD+BC?DA=AC?BD．此为托勒密定理；

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（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题： 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC=PA； ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；

第二步：在上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+______；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段______的长度即为△ABC的费马距离．

（3）知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水． 已知三村庄

A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．