小学六年级奥数系列讲座：进位制问题(含答案解析)

进位制问题

内容概述

本讲不着重讨论n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制．对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一．

但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的．

说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．

典型问题

1．在几进制中有4×13=100．

【分析与解】 我们利用尾数分析来求解这个问题：

不管在几进制均有(4)10×(3)10=(12)10．但是，式中为100，尾数为0．

也就是说已经将12全部进到上一位．

所以说进位制n为12的约数，也就是12，6，4，3，2．

但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制．

我们知道(4)10×(13)10=(52)10，因52<100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道n<10．

所以，n只能是6．

2．在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?

【分析与解】 我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大．

注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9．所以变为遇9进1．也就是九进制．

于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：

12 12 0l20 11 01 10 12 11 21 3进制

5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 9进制

所以，首位为5．

评注：若原为n进制的数，转化为n进制，则从右往左数每k个数一组化为n进制． 如：2进制转化为8进制，2=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制．

10 100 001 101 2进制

2 4 1 5 8进制

(10100001101)2=(2415)8．

3．在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?

【分析与解】 (abc)6=a×6＋b×6+c=36a+6b+c； 2kk3

(cba)9=c×92+b×9+a=81c+9b+a．

所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；

因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1． 所以，b=0或5．

①当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以a=16，c=7： 但是在6,9进制，不可以有一个数字为16．

②当b=5，则35a=3×5+80c；则7a=3+16c；mod 7后，3+2c≡0

所以c=2或者2+7k(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2．

于是，35a=15+80×2；a=5．

于是(abc)6 =(552)6=5×6+5×6+2=212． 2

所以．这个三位数在十进制中为212．

z=1+9+8+7，4．设1987可以在b进制中写成三位数xyz，且x?y?试确定出所有可能的x、

y、z及b．

?(xyz)b?b2x?by?z?1987①【分析与解】 我们注意??x?y?z?1?9?8?7②

①-②得：(b-1)x+(b-1)y=1987-25．

则(b-1)(b+1)x+(b-1)y=1962，

即(b-1)[(b+1)x+y]=1962．

所以，1962是(b-1)的倍数．

1962=2×9×109：

当b-1=9时，b=10，显然不满足； 2

当b-1=18时，b=19，则（b-1)[(b+1)x+y]=18×(20x+y)=1962；则20x+y=109，

?b=19

?x?5?x?5?x?4?所以，? ,?(不满足),......则?y?9y?29y?9?????z?11

显然，当b=109不满足，b=2×109不满足，当b=9×109也不满足．

于是为(59B)19=(1987)10，B代表11．

5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D的和为多少?

【分析与解】

于是，我们知道n=4，所以为4进制，

则 A+B+C+D=3+1+2+0=6．

6. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”．试求小于1024的所有坏数的个数.

【分析与解】 我们现把1024转化为二进制：

(1024)10=2=(10000000000)2．

于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况． 10

??并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如?111...10000...0????5个15个或以上0?2

?

?????????111...1?=?0111...1???????9个1?2?9个1?2则，?* * * * * * * * * *?可以含2个l，4个1，6个1，8个l，10个1．

10个位置

226810于是为C10 ?C10?C10?C10?C10

=10?910?9?8?710?9?8?7?6?510?9?8?7?6?5?4?3＋＋＋＋1 21?2?3?41?2?3?4?5?61?2?3?4?5?6?7?8

=45+210+210+45+1=511

于是，小于1024的“坏数”有511个.

??7．计算：?3?3?3...?3?1?26的余数． ??2003个3??

【分析与解】

??????1000...?0?1222...23?3?3...?3?1==????????? ???

2003个3?3?2003个2

?3???2003个3